a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp:

Ta có tam giác ABC nhọn với đường tròn tâm O, đường kính BC cắt AB tại E và AC tại D. Gọi H là giao điểm của BD và CE.

Chúng ta cần chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh góc AHD bằng góc AED.

Gọi góc AHD là α và góc AED là β. Ta có:

1. Góc AHD = 180° - góc BHD (tổng góc trong tam giác AHD) = 180° - góc BCD (góc nội tiếp) = góc BAC (góc ngoại tiếp) = β.

2. Góc AED = góc BCD (góc nội tiếp) = góc BAC (góc ngoại tiếp) = β.

Vì α = β, tứ giác ADHE nội tiếp.

b) Chứng minh tứ giác BIHE nội tiếp và EID-EOD:

Gọi I là giao điểm của AH và BC. Ta cần chứng minh tứ giác BIHE nội tiếp và EID-EOD.

1. Tứ giác BIHE nội tiếp:

   • Góc BHI = góc BCI (góc nội tiếp) = góc BAC (góc ngoại tiếp) = β.
   • Góc BEI = góc BCI (góc nội tiếp) = β. Vì góc BHI = góc BEI, tứ giác BIHE nội tiếp.

2. Tứ giác EID-EOD:

   • Góc EID = góc BCD (góc nội tiếp) = góc BAC (góc ngoại tiếp) = β.
   • Góc EOD = góc BCD (góc nội tiếp) = góc BAC (góc ngoại tiếp) = β. Vì góc EID = góc EOD, tứ giác EID-EOD nội tiếp.

c) Chứng minh O, H, K thẳng hàng:

Gọi K là giao điểm của AS với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.

Ta cần chứng minh O, H, K thẳng hàng. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh góc OHK = 180°.

1. Góc OHK = góc OAK (góc ngoại tiếp) = góc EAK (góc nội tiếp) = góc EIK (góc nội tiếp) = góc EOK (góc ngoại tiếp) = 180°.

Vậy O, H, K thẳng hàng.