Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x) = - 2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 8

a) Để tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ là 2, ta cần tính đạo hàm của hàm số f(x) và sau đó tính giá trị của đạo hàm tại x = 2.

Đạo hàm của hàm số f(x) là f'(x) = -6x^2 + 6x
Để tính giá trị của đạo hàm tại x = 2, ta thay x = 2 vào f'(x):
f'(2) = -6(2)^2 + 6(2) = -24 + 12 = -12

Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ là 2 là y = -12x + c. Để tìm giá trị của c, ta thay x = 2 và y = f(2) vào phương trình của đường tiếp tuyến:
-12(2) + c = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 8
-24 + c = -16 + 12 + 8
c = 20

Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ là 2 là y = -12x + 20.

b) Để tìm vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng 3 giây kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động, ta cần tìm giá trị lớn nhất của đạo hàm của hàm số s(t) trong khoảng thời gian từ 0 đến 3 giây.

Đạo hàm của hàm số s(t) là s'(t) = -6t^2 + 6t
Để tìm giá trị lớn nhất của đạo hàm trong khoảng từ 0 đến 3 giây, ta cần tìm điểm cực đại của hàm số s'(t) trong khoảng đó. Ta tính đạo hàm bậc hai của s'(t):
s''(t) = -12t + 6

Để tìm điểm cực đại, giải phương trình s''(t) = 0:
-12t + 6 = 0
t = 0.5

Vậy điểm cực đại của hàm số s'(t) là t = 0.5 giây. Để tìm vận tốc lớn nhất, ta tính giá trị của s'(0.5):
s'(0.5) = -6(0.5)^2 + 6(0.5) = -1.5 + 3 = 1.5 m/s

Vậy vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng 3 giây kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động là 1.5 m/s. Để tính vận tốc của vật trong giây thứ 2, ta tính giá trị của s'(2):
s'(2) = -6(2)^2 + 6(2) = -24 + 12 = -12 m/s

Vậy vận tốc của vật trong giây thứ 2 là -12 m/s.