Cho tam giác ABC nhọn(AB < AC), hai đường cao BE CF cắt nhau tại H (E thuộc AC, F thuộc AB ), Chứng minh: ΔABE đồng dạng với ΔACF, Tia EF cắt tia CB tại K, Chứng minh: KE.KF= KB.KC, AH cắt BC tại D, Chứng minh: CH.CF+BH.BE=BC²

Giải:

a) Ta có:

$$\angle ABE = 90^\circ - \angle ABC = \angle ACF$$

$$\angle BAE = 90^\circ - \angle BAC = \angle AFC$$

Vậy, theo góc, ta có: $$\Delta ABE \sim \Delta ACF$$

b) Ta có: $$\Delta ABE \sim \Delta ACF$$

$$\Rightarrow \frac{KE}{KB} = \frac{EF}{CF}$$

$$\Rightarrow KE \cdot CF = KB \cdot EF$$

$$\Rightarrow KE \cdot KF = KB \cdot KC$$

c) Ta có: $$\frac{CH}{CF} = \frac{BH}{BE} = \frac{BC}{EF}$$

$$\Rightarrow CH \cdot CF + BH \cdot BE = BC \cdot EF$$

$$\Rightarrow CH \cdot CF + BH \cdot BE = BC^2$$

Vậy ta đã chứng minh được.