Cho đường tròn (O) và một điểm M ở ngoài đường tròn

a) Ta có ∠MBO = ∠MCA (cùng nằm ở cùng cung tròn MC), và ∠MAB = ∠MCA (do MA là tiếp tuyến nên ∠MAB = ∠MCA). Do đó, tứ giác MBOA nội tiếp.

b) Ta có ∠MCD = ∠MAD (cùng nằm ở cùng cung tròn MD), và ∠MCD = ∠MBC (do MC là tiếp tuyến nên ∠MCD = ∠MBC). Do đó, ∆MAD ~ ∆MCB theo góc.

Từ đó, ta có: $\frac{MA}{MC} = \frac{MD}{MB}$

Vì tứ giác MBOA nội tiếp nên $\angle MOA = \angle MBA$

Do đó, $\angle MOA = \angle MBA = \angle MCD = \angle MBC$

Vậy, $\angle MOA = \angle MBC$

Do đó, $\Delta MOA \sim \Delta MBC$ theo góc.

Từ đó, ta có: $\frac{MA}{MC} = \frac{MO}{MB}$

Kết hợp với $\frac{MA}{MC} = \frac{MD}{MB}$, ta suy ra $MO = MD$

c) Ta có $\angle MAE = \angle MBC$ (cùng nằm ở cùng cung tròn MC), và $\angle MAB = \angle MBC$ (do MA là tiếp tuyến nên $\angle MAB = \angle MBC$). Do đó, $\angle MAE = \angle MAB$.

Vậy, AE là đường trung tuyến của ∆MAB.