a. Ta có:
- Tam giác ABD và tam giác ACD cùng có góc A bằng nhau (do ABC cân tại A), góc B bằng nhau (do AD là đường phân giác của góc BAC), và góc D bằng nhau (do ABC cân tại A). Do đó, tam giác ABD = tam giác ACD (theo góc-góc-góc).
- Ta có AD là đường phân giác của góc BAC nên AD vuông góc với BC (do tính chất của đường phân giác).

b. Ta có:
- Vì BM là trung tuyến của tam giác ABC nên AM = MC.
- G là giao điểm của AD và BM nên AG = GD (do trung tuyến chia đôi đường chéo).
- Ta có CN vuông góc với BC (do CN là đường thẳng vuông góc với BC), nên CN song song với AM (do ABC cân tại A). Từ đó suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC (do AG = GD và AM = MC).
- Vì BG song song với CN và G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG = 2GN (do trọng tâm chia đôi đường phân giác).

c. Ta có:
- Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G là trung điểm của AC, tức là GC = GN.
- Ta đã có BG = 2GN, nên tam giác GNC cân tại G.
- Để tam giác GNC là tam giác đều, ta cần thêm điều kiện là BG = GN = NC, tức là tam giác ABC cần là tam giác đều.