a) Ta có:
$\angle ABD = \angle EBD$ (vì BD là phân giác của $\angle ABC$)
$\angle ADB = \angle EDB = 90^\circ$ (vì DE vuông góc với BC)
$\angle BAD = \angle BED$ (cùng chắn cung BE trên cùng đường tròn (ABCD))
Vậy tam giác ABD = tam giác EBD (theo góc - góc - góc).

b) Ta có:
$\angle AID = \angle ABD = \angle EBD$ (vì tam giác ABD = tam giác EBD)
$\angle AID = \angle EBD = \angle EAD$ (cùng chắn cung BE trên cùng đường tròn (ABCD))
$\angle AID = \angle EAD = \angle HAC$ (vì AE là phân giác của góc HAC)
Vậy tam giác AID cân và AH song song với DE.

c) Ta có:
$\angle HAC = \angle EAD$ (vì AE là phân giác của góc HAC)
Vậy AE là phân giác của góc HAC.

d) Để DC = 2AI, ta cần thêm điều kiện là tam giác ABC phải vuông tại A.