a) Vì D thuộc đường tròn (O) và BC là đường kính nên ˆBDC=90∘

Suy ra BD ⊥ AC.

Ta có AB là tiếp tuyến của (O), với B là tiếp điểm.

Suy ra ˆABC=90∘

Tam giác ABC vuông tại B có BD là đường cao: AB2 = AD.AC (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Vậy BD vuông góc AC và AB2 = AD.AC.

b) Xét tam giác BEC có O là trung điểm BC (do BC là đường kính của (O)) và OH // CE (giả thiết).

Suy ra OH là đường trung bình của tam giác BEC.

Vậy H là trung điểm của BE.

Vì E thuộc đường tròn (O) và BC là đường kính nên ˆBEC=90∘

Suy ra BE ⊥ CE.

Mà CE // OH (giả thiết).

Do đó OH ⊥ BE hay AH ⊥ BE.

Tam giác ABE có AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao.

Suy ra tam giác ABE cân tại A.

Do đó AB = AE.

Xét ∆ABO và ∆AEO, có:

AO chung;

AB = AE (chứng minh trên);

OB = OE (= R).

Do đó ∆ABO = ∆AEO (c.c.c).

Suy ra ˆAEO=ˆABO=90∘ (cặp góc tương ứng).

Vậy AE là tiếp tuyến của (O).

c) Tam giác OBA vuông tại B có BH là đường cao: OB2 = OH.OA (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Suy ra OC2 = OH.OA.

Xét ∆OHC và ∆OCA, có:

OHOC=OCOA (OC2 = OH.OA);

ˆCOH chung.

Do đó  (c.g.c).

Vậy ˆOCH=ˆOAC (cặp góc tương ứng).

d) Ta có ˆOCF=ˆFCE(=ˆOFC)

Lại có ˆOCH=ˆACE(=ˆOAC)

Suy ra ˆHCF=ˆFCA

Khi đó CF là tia phân giác của ˆHCA

Áp dụng tính chất đường phân giác cho tam giác HCA, ta được: HFFA=HCCA

Vậy FA.CH = HF.CA (điều phải chứng minh).