Tìm số tự nhiên n để 8x^n + 2 - 6x^3 chia hết cho 2x^2 và 3x^5 - 4 x ^4 chia hết cho x^n + 1

Để số 8x^n + 2 - 6x^3 chia hết cho 2x^2, ta cần thỏa mãn điều kiện là 8x^n + 2 - 6x^3 chia hết cho 2x^2.

Điều này tương đương với việc 4x^n + 1 - 3x^3 chia hết cho x^2.

Ta có: 4x^n + 1 - 3x^3 = (4x^n - 3x^3) + 1 = x^3(4x^(n-3) - 3) + 1.

Để biểu thức trên chia hết cho x^2, ta cần x^3(4x^(n-3) - 3) chia hết cho x^2, tức là n - 3 ≥ 2 hoặc n ≥ 5.

Vậy n ≥ 5.

Để số 3x^5 - 4x^4 chia hết cho x^n + 1, ta cần thỏa mãn điều kiện là 3x^5 - 4x^4 chia hết cho x^n + 1.

Điều này tương đương với việc 3x^5 - 4x^4 = (3x^5 - 3x^4) - x^4 chia hết cho x^n + 1.

Ta có: 3x^5 - 3x^4 - x^4 = x^4(3x - 3) - x^4 = x^4(3x - 4).

Để biểu thức trên chia hết cho x^n + 1, ta cần x^4(3x - 4) chia hết cho x^n + 1, tức là n ≥ 4.

Vậy n ≥ 5.

Vậy n cần thỏa mãn điều kiện n ≥ 5 để cả hai điều kiện đề bài đều được thỏa mãn.