Cho (O; R) dây BC cố định không qua tâm O, điểm D di chuyển trên cung lớn BC sao cho tam giác DBC nhọn, vẽ các đường cao BE; CI cắt nhau tại H. Tia DO cắt đường tròn (O) tại M. a. Chứng minh rằng: Tứ giác BCEI nội tiếp. b. Chứng minh rằng: CH = ..

a. Ta có:
$\angle BEC + \angle BIC = 90^\circ$ (do $BE \perp BC$ và $CI \perp BC$)
$\angle BIC = \angle BOC$ (cùng chắn cung BC)
$\angle BOC = 2\angle BMC$ (cùng tia)
$\angle BMC = \angle BDC$ (cùng chắn cung BM)
$\angle BDC = \angle BEC$ (cùng chắn cung BC)
Do đó, $\angle BEC + \angle BIC = 2\angle BMC + \angle BIC = 2\angle BOC + \angle BOC = 180^\circ$
Vậy tứ giác BCEI nội tiếp.

b. Ta có:
$\angle HCB = \angle ICB = \angle IEB$ (cùng chắn cung CI)
$\angle IEB = \angle IDB$ (cùng chắn cung DE)
$\angle IDB = \angle IMB$ (cùng chắn cung DM)
$\angle IMB = \angle HCB$
Vậy CH = BM.

Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác DEI. Ta có:
$\angle DEI = 180^\circ - \angle BEC = 180^\circ - \angle BIC = \angle DOI$
Vậy đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DEI có độ dài không đổi.

Để hoàn thiện phần c, cần gấp phần b.