Để chứng minh KM < KN, ta sẽ sử dụng định lí hình học sau:

Định lí: Trong một đường tròn, nếu hai dây cắt nhau tại một điểm nằm ngoài đường tròn thì tích vô hướng của hai đoạn thẳng chứa dây đó bằng tích vô hướng của hai đoạn thẳng chứa dây cắt nhau.

Áp dụng định lí trên, ta có:

AM * AK = CM * CK

Do đó, ta có:

AM/AK = CM/CK

Áp dụng định lí hình học về đường thẳng chia đôi đoạn thẳng, ta có:

AM/MK = CM/KN

Do đó, ta có:

AM/CM = MK/KN

Vì M và N nằm trên cùng một cung MN của đường tròn, nên ta có KM < KN (do AM/CM < 1).

Vậy ta đã chứng minh được rằng KM < KN.