Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(I\) là giao điểm của các đường phân giác trong của hai góc \(B\) và \(C\), \(J\) là giao điểm các phân giác ngoài của hai góc đó.

### a) Chứng minh \(BICJ\) là tứ giác nội tiếp

Để chứng minh \(BICJ\) là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng bốn điểm \(B\), \(I\), \(C\), \(J\) cùng nằm trên một đường tròn.

- Gọi \(I_B\) và \(I_C\) lần lượt là giao điểm của phân giác ngoài của góc \(B\) và \(C\) với đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
- Ta có \(I\) là giao điểm của các đường phân giác trong của góc \(B\) và \(C\), do đó \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
- \(J\) là giao điểm của các đường phân giác ngoài của góc \(B\) và \(C\), do đó \(J\) là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác \(ABC\) đối diện với đỉnh \(A\).

Xét góc \(\angle BIC\):
- \(\angle BIC = 90^\circ + \frac{\angle BAC}{2}\).

Xét góc \(\angle BJC\):
- \(\angle BJC = 90^\circ - \frac{\angle BAC}{2}\).

Ta có:
\[
\angle BIC + \angle BJC = \left(90^\circ + \frac{\angle BAC}{2}\right) + \left(90^\circ - \frac{\angle BAC}{2}\right) = 180^\circ.
\]

Do đó, tứ giác \(BICJ\) nội tiếp trong một đường tròn.

### b) Chứng minh rằng ba điểm \(A\), \(I\), \(J\) thẳng hàng

Để chứng minh ba điểm \(A\), \(I\), \(J\) thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng điểm \(A\) nằm trên đường thẳng \(IJ\).

- Gọi \(I_A\) là giao điểm của phân giác trong của góc \(A\) với đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
- Ta biết rằng \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) và \(J\) là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác \(ABC\) đối diện với đỉnh \(A\).

Xét tam giác \(AIB\) và \(AIC\):
- \(\angle AIB = 90^\circ + \frac{\angle BAC}{2}\).
- \(\angle AIC = 90^\circ + \frac{\angle BAC}{2}\).

Xét tam giác \(AJB\) và \(AJC\):
- \(\angle AJB = 90^\circ - \frac{\angle BAC}{2}\).
- \(\angle AJC = 90^\circ - \frac{\angle BAC}{2}\).

Do đó, các điểm \(A\), \(I\), \(J\) thẳng hàng vì:
\[
\angle AIB + \angle AJB = 180^\circ \quad \text{và} \quad \angle AIC + \angle AJC = 180^\circ.
\]

Vậy, ba điểm \(A\), \(I\), \(J\) thẳng hàng.