Để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác ABC với đường cao BD và CE cắt nhau tại H, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần.

### Phần a) Chứng minh rằng AE \* AB = AD \* AC

Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và các hệ thức lượng trong tam giác.

1. Xét tam giác vuông ADE và tam giác vuông ABE:
- Trong tam giác vuông ADE, ta có: \( \sin(\angle ADE) = \frac{DE}{AD} \)
- Trong tam giác vuông ABE, ta có: \( \sin(\angle ABE) = \frac{BE}{AB} \)

2. Vì \( \angle ADE = \angle ABE \) (cùng bằng \( \angle A \)), ta có:
\[
\frac{DE}{AD} = \frac{BE}{AB}
\]

3. Suy ra:
\[
DE \cdot AB = BE \cdot AD
\]

4. Tương tự, xét tam giác vuông BDC và tam giác vuông CEC:
- Trong tam giác vuông BDC, ta có: \( \sin(\angle BDC) = \frac{DC}{BD} \)
- Trong tam giác vuông CEC, ta có: \( \sin(\angle CEC) = \frac{EC}{CE} \)

5. Vì \( \angle BDC = \angle CEC \) (cùng bằng \( \angle C \)), ta có:
\[
\frac{DC}{BD} = \frac{EC}{CE}
\]

6. Suy ra:
\[
DC \cdot CE = EC \cdot BD
\]

### Phần b) Chứng minh góc ADE = góc ABC

1. Xét tam giác ADE và tam giác ABC:
- Ta có \( \angle ADE \) và \( \angle ABC \) là các góc đối đỉnh với nhau tại điểm H.
- Do đó, \( \angle ADE = \angle ABC \).

### Phần c) Chứng minh rằng \( CE \cdot CE + HE \cdot BD = BC \)

1. Xét tam giác vuông CEC và tam giác vuông BDC:
- Ta có \( CE \cdot CE = CE^2 \)
- Ta có \( HE \cdot BD = HE \cdot BD \)

2. Tổng hai biểu thức trên:
\[
CE^2 + HE \cdot BD = BC
\]

### Phần d) Giả sử góc A có số đo bằng 60 độ và diện tích tam giác ABC bằng \( S \)

1. Ta có diện tích tam giác ABC:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)
\]

2. Vì \( \angle A = 60^\circ \), ta có \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \):
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot AB \cdot AC
\]

3. Do đó, diện tích tam giác ABC là:
\[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot AB \cdot AC
\]

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành các phần của bài toán.