Chúng ta sẽ giải từng bất phương trình một cách chi tiết.

### Bất phương trình 1: \(\frac{x-7}{x-5} > 0\)

1. **Xác định các điểm làm tử số và mẫu số bằng 0:**
- Tử số \(x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7\)
- Mẫu số \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)

2. **Xác định các khoảng nghiệm:**
- Các điểm phân chia khoảng là \(x = 5\) và \(x = 7\).
- Các khoảng nghiệm là: \((-\infty, 5)\), \((5, 7)\), và \((7, \infty)\).

3. **Xét dấu của biểu thức \(\frac{x-7}{x-5}\) trên từng khoảng:**
- Với \(x \in (-\infty, 5)\):
- \(x - 7 < 0\)
- \(x - 5 < 0\)
- \(\frac{x-7}{x-5} = \frac{(-)}{(-)} = (+) > 0\)

- Với \(x \in (5, 7)\):
- \(x - 7 < 0\)
- \(x - 5 > 0\)
- \(\frac{x-7}{x-5} = \frac{(-)}{(+)} = (-) < 0\)

- Với \(x \in (7, \infty)\):
- \(x - 7 > 0\)
- \(x - 5 > 0\)
- \(\frac{x-7}{x-5} = \frac{(+)}{(+)} = (+) > 0\)

4. **Kết luận nghiệm của bất phương trình:**
- \(\frac{x-7}{x-5} > 0\) khi \(x \in (-\infty, 5) \cup (7, \infty)\).

### Bất phương trình 2: \(\frac{2x+9}{x-2} \leq 0\)

1. **Xác định các điểm làm tử số và mẫu số bằng 0:**
- Tử số \(2x + 9 = 0 \Rightarrow x = -\frac{9}{2}\)
- Mẫu số \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)

2. **Xác định các khoảng nghiệm:**
- Các điểm phân chia khoảng là \(x = -\frac{9}{2}\) và \(x = 2\).
- Các khoảng nghiệm là: \((-\infty, -\frac{9}{2})\), \((-\frac{9}{2}, 2)\), và \((2, \infty)\).

3. **Xét dấu của biểu thức \(\frac{2x+9}{x-2}\) trên từng khoảng:**
- Với \(x \in (-\infty, -\frac{9}{2})\):
- \(2x + 9 < 0\)
- \(x - 2 < 0\)
- \(\frac{2x+9}{x-2} = \frac{(-)}{(-)} = (+) > 0\)

- Với \(x \in (-\frac{9}{2}, 2)\):
- \(2x + 9 > 0\)
- \(x - 2 < 0\)
- \(\frac{2x+9}{x-2} = \frac{(+)}{(-)} = (-) < 0\)

- Với \(x \in (2, \infty)\):
- \(2x + 9 > 0\)
- \(x - 2 > 0\)
- \(\frac{2x+9}{x-2} = \frac{(+)}{(+)} = (+) > 0\)

4. **Kết luận nghiệm của bất phương trình:**
- \(\frac{2x+9}{x-2} \leq 0\) khi \(x \in [-\frac{9}{2}, 2)\).

### Kết luận chung:
- Nghiệm của bất phương trình \(\frac{x-7}{x-5} > 0\) là \(x \in (-\infty, 5) \cup (7, \infty)\).
- Nghiệm của bất phương trình \(\frac{2x+9}{x-2} \leq 0\) là \(x \in [-\frac{9}{2}, 2)\).