Để tính diện tích tam giác \( AEM \), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và các điểm trung điểm đã cho.

1. **Xác định các điểm trung điểm:**
- \( D \) là trung điểm của \( BC \).
- \( M \) là trung điểm của \( AD \).

2. **Diện tích các tam giác con:**
- Vì \( D \) là trung điểm của \( BC \), đường thẳng \( AD \) là đường trung tuyến của tam giác \( ABC \). Đường trung tuyến chia tam giác \( ABC \) thành hai tam giác có diện tích bằng nhau: \( \triangle ABD \) và \( \triangle ADC \). Do đó, diện tích mỗi tam giác này là:
\[
S_{ABD} = S_{ADC} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 360 = 180 \, \text{cm}^2
\]

3. **Diện tích tam giác \( AMD \):**
- \( M \) là trung điểm của \( AD \), nên đường thẳng \( BM \) là đường trung tuyến của tam giác \( ABD \). Đường trung tuyến này chia tam giác \( ABD \) thành hai tam giác có diện tích bằng nhau: \( \triangle ABM \) và \( \triangle BMD \). Do đó, diện tích mỗi tam giác này là:
\[
S_{ABM} = S_{BMD} = \frac{1}{2} S_{ABD} = \frac{1}{2} \times 180 = 90 \, \text{cm}^2
\]

4. **Diện tích tam giác \( AEM \):**
- Đường thẳng \( BM \) cắt \( AC \) tại \( E \). Vì \( M \) là trung điểm của \( AD \), \( E \) là điểm chia \( AC \) theo tỉ lệ \( 2:1 \) từ \( A \) đến \( C \). Điều này có nghĩa là \( E \) chia tam giác \( ABC \) thành hai phần, trong đó \( \triangle AEM \) chiếm \( \frac{1}{3} \) diện tích của tam giác \( ABC \).

Do đó, diện tích tam giác \( AEM \) là:
\[
S_{AEM} = \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{3} \times 360 = 120 \, \text{cm}^2
\]

Vậy diện tích tam giác \( AEM \) là \( 120 \, \text{cm}^2 \).