Để chứng minh \(BC = 2AD\) trong hình thang \(ABCD\) với \(AB \parallel CD\), \(AB = 2 \, \text{cm}\), \(BD = 4 \, \text{cm}\), và \(CD = 8 \, \text{cm}\), ta có thể làm như sau:

1. **Xác định các đoạn thẳng và các góc trong hình thang:**
- \(AB \parallel CD\)
- \(AB = 2 \, \text{cm}\)
- \(BD = 4 \, \text{cm}\)
- \(CD = 8 \, \text{cm}\)

2. **Sử dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp:**
- Định lý Ptolemy: Trong một tứ giác nội tiếp, tích hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện.
- Tuy nhiên, trong bài này, chúng ta không có thông tin về tứ giác nội tiếp, nên ta sẽ sử dụng các phương pháp khác.

3. **Sử dụng định lý Talet (định lý về các đoạn thẳng song song):**
- Vì \(AB \parallel CD\), nên các đoạn thẳng song song này sẽ chia các đoạn thẳng khác theo tỷ lệ.

4. **Sử dụng tam giác đồng dạng:**
- Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(BCD\):
- Vì \(AB \parallel CD\), nên góc \(ABD\) bằng góc \(BCD\) (góc so le trong).
- Góc \(ADB\) bằng góc \(BDC\) (góc đối đỉnh).

- Do đó, tam giác \(ABD\) đồng dạng với tam giác \(BCD\) theo trường hợp góc-góc (AA).

5. **Tính toán tỷ lệ các cạnh:**
- Vì tam giác \(ABD\) đồng dạng với tam giác \(BCD\), nên:
\[
\frac{AB}{CD} = \frac{BD}{BC}
\]
- Thay các giá trị đã biết vào:
\[
\frac{2}{8} = \frac{4}{BC}
\]
- Giải phương trình này để tìm \(BC\):
\[
\frac{1}{4} = \frac{4}{BC} \implies BC = 16 \, \text{cm}
\]

6. **Tính \(AD\):**
- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \(ABD\):
\[
AD^2 + AB^2 = BD^2
\]
\[
AD^2 + 2^2 = 4^2
\]
\[
AD^2 + 4 = 16
\]
\[
AD^2 = 12 \implies AD = 2\sqrt{3} \, \text{cm}
\]

7. **Kiểm tra kết quả:**
- Ta cần chứng minh \(BC = 2AD\):
\[
BC = 2 \times AD
\]
\[
16 = 2 \times 2\sqrt{3}
\]
\[
16 = 4\sqrt{3}
\]
- Điều này không đúng, có thể có sai sót trong quá trình tính toán hoặc giả thiết ban đầu.

Do đó, cần kiểm tra lại các bước tính toán hoặc giả thiết ban đầu để đảm bảo tính chính xác.