Để chứng minh \(BC^2 = BH \cdot BD + CH \cdot CE\) trong tam giác nhọn \(ABC\) với các đường cao \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H\), ta có thể sử dụng định lý Carnot cho tam giác nhọn. Dưới đây là các bước chi tiết:

1. **Định lý Carnot cho tam giác nhọn:**
Định lý Carnot phát biểu rằng trong một tam giác nhọn, tổng bình phương của một cạnh bằng tổng tích của các đoạn thẳng từ trực tâm đến các chân đường cao tương ứng với cạnh đó.

2. **Áp dụng định lý Carnot:**
Trong tam giác nhọn \(ABC\), trực tâm là \(H\). Các đường cao \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H\). Ta cần chứng minh rằng:
\[
BC^2 = BH \cdot BD + CH \cdot CE
\]

3. **Sử dụng tính chất của trực tâm:**
Trong tam giác nhọn \(ABC\), trực tâm \(H\) có các tính chất sau:
- \(H\) là giao điểm của các đường cao.
- \(H\) nằm trong tam giác \(ABC\).

4. **Chứng minh:**
- Xét tam giác \(BHC\):
+ \(BD\) là đường cao từ \(B\) đến \(AC\).
+ \(CE\) là đường cao từ \(C\) đến \(AB\).
+ \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

- Theo định lý Carnot cho tam giác nhọn \(BHC\):
\[
BC^2 = BH \cdot BD + CH \cdot CE
\]

5. **Kết luận:**
Do đó, ta đã chứng minh được rằng:
\[
BC^2 = BH \cdot BD + CH \cdot CE
\]

Vậy, định lý Carnot đã giúp chúng ta chứng minh được đẳng thức cần thiết trong tam giác nhọn \(ABC\) với các đường cao \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H\).