Để phương trình \( x^2 - (2m + 1)x + m^2 + 1 = 0 \) có hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn \( x_2 = 2x_1 \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Sử dụng điều kiện nghiệm của phương trình bậc hai:**

Theo định lý Vi-et, nếu \( x_1 \) và \( x_2 \) là nghiệm của phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \), thì:
\[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
\]
\[
x_1 x_2 = \frac{c}{a}
\]

Với phương trình \( x^2 - (2m + 1)x + m^2 + 1 = 0 \), ta có:
\[
x_1 + x_2 = 2m + 1
\]
\[
x_1 x_2 = m^2 + 1
\]

2. **Thay điều kiện \( x_2 = 2x_1 \) vào các công thức trên:**

\[
x_1 + 2x_1 = 2m + 1 \implies 3x_1 = 2m + 1 \implies x_1 = \frac{2m + 1}{3}
\]

\[
x_1 x_2 = x_1 \cdot 2x_1 = 2x_1^2 = m^2 + 1
\]

3. **Thay \( x_1 = \frac{2m + 1}{3} \) vào phương trình \( 2x_1^2 = m^2 + 1 \):**

\[
2 \left( \frac{2m + 1}{3} \right)^2 = m^2 + 1
\]

\[
2 \cdot \frac{(2m + 1)^2}{9} = m^2 + 1
\]

\[
\frac{2(4m^2 + 4m + 1)}{9} = m^2 + 1
\]

\[
\frac{8m^2 + 8m + 2}{9} = m^2 + 1
\]

4. **Giải phương trình:**

Nhân cả hai vế với 9 để loại mẫu:
\[
8m^2 + 8m + 2 = 9m^2 + 9
\]

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\[
8m^2 + 8m + 2 - 9m^2 - 9 = 0
\]

\[
-m^2 + 8m - 7 = 0
\]

\[
m^2 - 8m + 7 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 64 - 28 = 36
\]

\[
m = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2}
\]

\[
m = \frac{8 + 6}{2} = 7 \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{8 - 6}{2} = 1
\]

Vậy, các giá trị của \( m \) để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện \( x_2 = 2x_1 \) là \( m = 7 \) hoặc \( m = 1 \).