Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các thông tin đã cho và thiết lập phương trình dựa trên các dữ liệu đó.

Gọi vận tốc của An là \( v_A \) (km/h) và vận tốc của Bình là \( v_B \) (km/h).

Theo đề bài, mỗi giờ An đi nhanh hơn Bình 6 km, tức là:
\[ v_A = v_B + 6 \]

Cả hai bạn đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 3 giờ, tổng quãng đường họ đi được là 63 km. Do đó, ta có phương trình:
\[ 3v_A + 3v_B = 63 \]

Chia cả hai vế của phương trình cho 3, ta được:
\[ v_A + v_B = 21 \]

Bây giờ, ta có hệ phương trình:
1. \( v_A = v_B + 6 \)
2. \( v_A + v_B = 21 \)

Thay \( v_A \) từ phương trình (1) vào phương trình (2):
\[ (v_B + 6) + v_B = 21 \]
\[ 2v_B + 6 = 21 \]
\[ 2v_B = 15 \]
\[ v_B = 7.5 \]

Bây giờ, ta thay \( v_B \) vào phương trình (1) để tìm \( v_A \):
\[ v_A = 7.5 + 6 \]
\[ v_A = 13.5 \]

Vậy vận tốc của An là 13.5 km/h và vận tốc của Bình là 7.5 km/h.