Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học không gian và hình học phẳng.

**a) Chứng minh N là trung điểm của BI**

1. **Xác định các điểm và trung điểm:**
- G là trọng tâm của tam giác SAD, do đó \( \vec{OG} = \frac{2}{3} \vec{OS} + \frac{1}{3} \vec{OA} \).
- M là trung điểm của SB, do đó \( \vec{OM} = \frac{1}{2} (\vec{OS} + \vec{OB}) \).
- N là trung điểm của AD, do đó \( \vec{ON} = \frac{1}{2} (\vec{OA} + \vec{OD}) \).

2. **Xác định giao điểm I của GM với mặt phẳng (ABCD):**
- Đường thẳng GM có phương trình: \( \vec{OG} + t (\vec{OM} - \vec{OG}) \).
- Ta cần tìm t sao cho \( \vec{OI} \) nằm trong mặt phẳng (ABCD), tức là \( \vec{OI} = a \vec{OA} + b \vec{OB} + c \vec{OC} + d \vec{OD} \) với \( a + b + c + d = 1 \).

3. **Chứng minh N là trung điểm của BI:**
- Ta cần chứng minh \( \vec{ON} = \frac{1}{2} (\vec{OB} + \vec{OI}) \).
- Thay các giá trị \( \vec{ON}, \vec{OB}, \vec{OI} \) vào và kiểm tra điều kiện này.

**b) Chứng minh I nằm trên CD và IC = 2ID**

1. **Xác định vị trí của I trên CD:**
- Từ phần a, ta đã có \( \vec{OI} \) nằm trong mặt phẳng (ABCD).
- Ta cần chứng minh \( \vec{OI} \) có dạng \( \vec{OI} = k \vec{OC} + (1-k) \vec{OD} \) với \( 0 < k < 1 \).

2. **Chứng minh IC = 2ID:**
- Ta cần chứng minh \( \vec{IC} = 2 \vec{ID} \).
- Từ vị trí của I trên CD, ta có \( \vec{OI} = k \vec{OC} + (1-k) \vec{OD} \).
- Từ đó, \( \vec{IC} = \vec{OC} - \vec{OI} = (1-k) \vec{OC} - (1-k) \vec{OD} = (1-k) (\vec{OC} - \vec{OD}) \).
- \( \vec{ID} = \vec{OD} - \vec{OI} = (1-k) \vec{OD} - k \vec{OC} = k (\vec{OD} - \vec{OC}) \).
- Để \( \vec{IC} = 2 \vec{ID} \), ta cần \( (1-k) = 2k \), từ đó \( k = \frac{1}{3} \).

Vậy \( I \) nằm trên CD và \( IC = 2ID \).