Để tìm số nguyên \( a \) sao cho biểu thức \( \frac{a^2 + a + 3}{a + 1} \) là một số nguyên, ta cần phân tích và đơn giản hóa biểu thức này.

Trước hết, ta thực hiện phép chia đa thức \( a^2 + a + 3 \) cho \( a + 1 \):

1. Chia \( a^2 \) cho \( a \), ta được \( a \).
2. Nhân \( a \) với \( a + 1 \), ta được \( a^2 + a \).
3. Trừ \( a^2 + a \) từ \( a^2 + a + 3 \), ta được \( 3 \).

Vậy:
\[ \frac{a^2 + a + 3}{a + 1} = a + \frac{3}{a + 1} \]

Để biểu thức này là một số nguyên, \( \frac{3}{a + 1} \) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( a + 1 \) phải là một ước của 3. Các ước của 3 là \( \pm 1 \) và \( \pm 3 \).

Do đó, ta có các trường hợp sau:
1. \( a + 1 = 1 \) \(\Rightarrow a = 0 \)
2. \( a + 1 = -1 \) \(\Rightarrow a = -2 \)
3. \( a + 1 = 3 \) \(\Rightarrow a = 2 \)
4. \( a + 1 = -3 \) \(\Rightarrow a = -4 \)

Bây giờ, ta kiểm tra từng giá trị của \( a \) để đảm bảo rằng biểu thức ban đầu là một số nguyên:

1. \( a = 0 \):
\[ \frac{0^2 + 0 + 3}{0 + 1} = \frac{3}{1} = 3 \] (là số nguyên)

2. \( a = -2 \):
\[ \frac{(-2)^2 + (-2) + 3}{-2 + 1} = \frac{4 - 2 + 3}{-1} = \frac{5}{-1} = -5 \] (là số nguyên)

3. \( a = 2 \):
\[ \frac{2^2 + 2 + 3}{2 + 1} = \frac{4 + 2 + 3}{3} = \frac{9}{3} = 3 \] (là số nguyên)

4. \( a = -4 \):
\[ \frac{(-4)^2 + (-4) + 3}{-4 + 1} = \frac{16 - 4 + 3}{-3} = \frac{15}{-3} = -5 \] (là số nguyên)

Vậy, các giá trị nguyên của \( a \) để biểu thức \( \frac{a^2 + a + 3}{a + 1} \) là một số nguyên là: \( a = 0, -2, 2, -4 \).