Để tính giá trị của biểu thức \( A = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + \ldots + 1225 \), ta cần nhận ra rằng các số hạng trong biểu thức này là các số tam giác. Số tam giác thứ \( n \) được tính bằng công thức:

\[ T_n = \frac{n(n+1)}{2} \]

Chúng ta cần xác định \( n \) sao cho \( T_n = 1225 \):

\[ \frac{n(n+1)}{2} = 1225 \]
\[ n(n+1) = 2450 \]

Để giải phương trình bậc hai này, ta có:

\[ n^2 + n - 2450 = 0 \]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Ở đây, \( a = 1 \), \( b = 1 \), và \( c = -2450 \):

\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2450}}{2} \]
\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 9800}}{2} \]
\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{9801}}{2} \]
\[ n = \frac{-1 \pm 99}{2} \]

Chúng ta có hai nghiệm:

\[ n = \frac{98}{2} = 49 \]
\[ n = \frac{-100}{2} = -50 \] (loại vì \( n \) phải là số dương)

Vậy \( n = 49 \). Điều này có nghĩa là số hạng cuối cùng \( 1225 \) là số tam giác thứ 49.

Bây giờ, để tính tổng của các số tam giác từ \( T_1 \) đến \( T_{49} \), ta sử dụng công thức tổng của các số tam giác:

\[ A = \sum_{k=1}^{49} T_k = \sum_{k=1}^{49} \frac{k(k+1)}{2} \]

\[ A = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{49} k(k+1) \]
\[ A = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{49} (k^2 + k) \]

Chia tổng thành hai phần:

\[ A = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{49} k^2 + \sum_{k=1}^{49} k \right) \]

Sử dụng công thức tổng của các số tự nhiên và tổng của các bình phương số tự nhiên:

\[ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \]
\[ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

Thay \( n = 49 \):

\[ \sum_{k=1}^{49} k = \frac{49 \cdot 50}{2} = 1225 \]
\[ \sum_{k=1}^{49} k^2 = \frac{49 \cdot 50 \cdot 99}{6} = 40425 \]

Vậy:

\[ A = \frac{1}{2} \left( 40425 + 1225 \right) = \frac{1}{2} \cdot 41650 = 20825 \]

Do đó, giá trị của biểu thức \( A \) là \( 20825 \).