Để tìm số tự nhiên \( n \) lớn nhất có ba chữ số sao cho \( n \) chia 8 dư 3 và \( n \) chia 35 dư 33, ta cần giải hệ phương trình đồng dư sau:

\[
\begin{cases}
n \equiv 3 \pmod{8} \\
n \equiv 33 \pmod{35}
\end{cases}
\]

Trước tiên, ta viết lại phương trình đồng dư thứ hai:

\[
n \equiv 33 \pmod{35}
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
n = 35k + 33 \quad \text{với } k \text{ là số nguyên}
\]

Thay \( n = 35k + 33 \) vào phương trình đồng dư thứ nhất:

\[
35k + 33 \equiv 3 \pmod{8}
\]

Ta tính \( 35 \mod 8 \):

\[
35 \div 8 = 4 \text{ dư } 3 \quad \Rightarrow \quad 35 \equiv 3 \pmod{8}
\]

Do đó, phương trình trở thành:

\[
3k + 33 \equiv 3 \pmod{8}
\]

Ta trừ 3 từ cả hai vế:

\[
3k + 33 - 3 \equiv 0 \pmod{8} \quad \Rightarrow \quad 3k + 30 \equiv 0 \pmod{8}
\]

Ta tính \( 30 \mod 8 \):

\[
30 \div 8 = 3 \text{ dư } 6 \quad \Rightarrow \quad 30 \equiv 6 \pmod{8}
\]

Do đó, phương trình trở thành:

\[
3k + 6 \equiv 0 \pmod{8} \quad \Rightarrow \quad 3k \equiv -6 \pmod{8}
\]

Ta biết rằng \( -6 \equiv 2 \pmod{8} \), nên:

\[
3k \equiv 2 \pmod{8}
\]

Để giải phương trình này, ta tìm số nghịch đảo của 3 modulo 8. Ta thử các giá trị của \( x \) để tìm \( 3x \equiv 1 \pmod{8} \):

\[
3 \times 1 = 3 \quad (\text{không phải}) \\
3 \times 2 = 6 \quad (\text{không phải}) \\
3 \times 3 = 9 \equiv 1 \pmod{8} \quad (\text{đúng})
\]

Vậy số nghịch đảo của 3 modulo 8 là 3. Ta nhân cả hai vế của phương trình \( 3k \equiv 2 \pmod{8} \) với 3:

\[
k \equiv 2 \times 3 \pmod{8} \quad \Rightarrow \quad k \equiv 6 \pmod{8}
\]

Do đó, \( k \) có dạng:

\[
k = 8m + 6 \quad \text{với } m \text{ là số nguyên}
\]

Thay \( k = 8m + 6 \) vào \( n = 35k + 33 \):

\[
n = 35(8m + 6) + 33 = 280m + 210 + 33 = 280m + 243
\]

Vậy \( n \) có dạng:

\[
n = 280m + 243
\]

Để \( n \) là số tự nhiên có ba chữ số, ta cần:

\[
100 \leq 280m + 243 \leq 999
\]

Giải bất phương trình:

\[
100 \leq 280m + 243 \quad \Rightarrow \quad 280m \geq -143 \quad \Rightarrow \quad m \geq -\frac{143}{280} \quad \Rightarrow \quad m \geq 0
\]

\[
280m + 243 \leq 999 \quad \Rightarrow \quad 280m \leq 756 \quad \Rightarrow \quad m \leq \frac{756}{280} \quad \Rightarrow \quad m \leq 2.7
\]

Vì \( m \) là số nguyên, nên \( m \) có thể là 0, 1, hoặc 2. Để tìm \( n \) lớn nhất, ta chọn \( m = 2 \):

\[
n = 280 \times 2 + 243 = 560 + 243 = 803
\]

Vậy số tự nhiên \( n \) lớn nhất có ba chữ số thỏa mãn các điều kiện đã cho là \( 803 \).