Để tìm số tự nhiên \( n \) lớn nhất có ba chữ số sao cho \( n \) chia 8 dư 3 và \( n \) chia 35 dư 33, ta cần giải hệ phương trình đồng dư sau:

\[
\begin{cases}
n \equiv 3 \pmod{8} \\
n \equiv 33 \pmod{35}
\end{cases}
\]

Trước tiên, ta biểu diễn \( n \) dưới dạng tổng quát theo từng điều kiện đồng dư:

\[
n = 8k + 3 \quad \text{(1)}
\]
\[
n = 35m + 33 \quad \text{(2)}
\]

Từ (1), ta thay vào (2):

\[
8k + 3 \equiv 33 \pmod{35}
\]

Trừ 3 từ cả hai vế:

\[
8k \equiv 30 \pmod{35}
\]

Chia cả hai vế cho 2:

\[
4k \equiv 15 \pmod{35}
\]

Để giải phương trình này, ta cần tìm số nghịch đảo của 4 modulo 35. Số nghịch đảo của 4 modulo 35 là số \( x \) sao cho:

\[
4x \equiv 1 \pmod{35}
\]

Ta thử các giá trị của \( x \):

\[
4 \times 9 = 36 \equiv 1 \pmod{35}
\]

Vậy, số nghịch đảo của 4 modulo 35 là 9. Nhân cả hai vế của phương trình \( 4k \equiv 15 \pmod{35} \) với 9:

\[
k \equiv 15 \times 9 \pmod{35}
\]
\[
k \equiv 135 \pmod{35}
\]
\[
k \equiv 30 \pmod{35}
\]

Vậy \( k \) có dạng:

\[
k = 35t + 30 \quad \text{(t là số nguyên)}
\]

Thay \( k \) vào phương trình \( n = 8k + 3 \):

\[
n = 8(35t + 30) + 3
\]
\[
n = 280t + 240 + 3
\]
\[
n = 280t + 243
\]

Ta cần tìm \( n \) là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số, tức là \( n \leq 999 \):

\[
280t + 243 \leq 999
\]
\[
280t \leq 756
\]
\[
t \leq \frac{756}{280} \approx 2.7
\]

Vì \( t \) là số nguyên, giá trị lớn nhất của \( t \) là 2. Thay \( t = 2 \) vào biểu thức của \( n \):

\[
n = 280 \times 2 + 243
\]
\[
n = 560 + 243
\]
\[
n = 803
\]

Vậy, số tự nhiên \( n \) lớn nhất có ba chữ số thỏa mãn các điều kiện đã cho là \( 803 \).