Để chứng minh tứ giác \(AMNP\) là hình thang cân, ta cần chứng minh rằng \(AM \parallel NP\) và \(AM = NP\).

1. **Chứng minh \(AM \parallel NP\)**:
- Vì \(M\) là trung điểm của \(BD\), nên \(BM = MD\).
- \(N\) là trung điểm của \(BC\), nên \(BN = NC\).
- \(P\) là trung điểm của \(CD\), nên \(CP = PD\).

Xét tam giác \(BCD\):
- \(M\) là trung điểm của \(BD\) và \(P\) là trung điểm của \(CD\), nên \(MP\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\).
- Do đó, \(MP \parallel BC\) và \(MP = \frac{1}{2}BC\).

Xét tam giác \(ABC\):
- \(N\) là trung điểm của \(BC\), nên \(AN\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\).

Vì \(MP \parallel BC\) và \(N\) là trung điểm của \(BC\), nên \(AN \parallel MP\).

2. **Chứng minh \(AM = NP\)**:
- Xét tam giác \(ABD\):
- \(M\) là trung điểm của \(BD\), nên \(AM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABD\).
- Do đó, \(AM = \frac{1}{2}BD\).

- Xét tam giác \(BCD\):
- \(N\) là trung điểm của \(BC\) và \(P\) là trung điểm của \(CD\), nên \(NP\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\).
- Do đó, \(NP = \frac{1}{2}BC\).

Vì \(BD\) là phân giác của tam giác \(ABC\), nên \(BD\) chia tam giác \(ABC\) thành hai tam giác \(ABD\) và \(ACD\) có diện tích bằng nhau. Do đó, \(BD\) và \(BC\) có cùng độ dài.

Từ đó, ta có \(AM = NP\).

Kết luận: Tứ giác \(AMNP\) có \(AM \parallel NP\) và \(AM = NP\), do đó \(AMNP\) là hình thang cân.