Để giải bài toán này, ta cần thiết lập các phương trình dựa trên các thông tin đã cho và sau đó giải hệ phương trình đó.

Gọi chiều dài của mảnh vườn là \( L \) (m) và chiều rộng là \( W \) (m).

1. **Chu vi của mảnh vườn:**
Chu vi của hình chữ nhật được tính bằng công thức:
\[
2(L + W) = 34
\]
Suy ra:
\[
L + W = 17 \quad \text{(1)}
\]

2. **Diện tích thay đổi khi thay đổi chiều dài và chiều rộng:**
Diện tích ban đầu của mảnh vườn là \( L \times W \).

Khi tăng chiều dài thêm 3m và giảm chiều rộng 2m, diện tích mới là:
\[
(L + 3)(W - 2)
\]
Theo đề bài, diện tích giảm 5m², do đó:
\[
L \times W - (L + 3)(W - 2) = 5
\]
Mở rộng và đơn giản hóa phương trình trên:
\[
L \times W - (LW - 2L + 3W - 6) = 5
\]
\[
L \times W - L \times W + 2L - 3W + 6 = 5
\]
\[
2L - 3W + 6 = 5
\]
\[
2L - 3W = -1 \quad \text{(2)}
\]

Bây giờ chúng ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
L + W = 17 \quad \text{(1)} \\
2L - 3W = -1 \quad \text{(2)}
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình (1), ta có:
\[
W = 17 - L
\]

Thay \( W \) vào phương trình (2):
\[
2L - 3(17 - L) = -1
\]
\[
2L - 51 + 3L = -1
\]
\[
5L - 51 = -1
\]
\[
5L = 50
\]
\[
L = 10
\]

Thay \( L = 10 \) vào phương trình (1):
\[
10 + W = 17
\]
\[
W = 7
\]

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 10m và chiều rộng là 7m.