Để chứng minh rằng trong một tứ diện đều, tổng bình phương các độ dài từ một đỉnh đến các đỉnh còn lại bằng 3 lần bình phương độ dài một cạnh của tứ diện, ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của tứ diện đều.

Giả sử tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Ta cần chứng minh rằng:
\[ AB^2 + AC^2 + AD^2 = 3a^2 \]

Do tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng nhau, ta có:
\[ AB = AC = AD = a \]

Bây giờ, ta sẽ sử dụng hệ tọa độ để chứng minh điều này. Đặt đỉnh \(A\) tại gốc tọa độ \((0, 0, 0)\), và các đỉnh \(B\), \(C\), \(D\) sao cho chúng tạo thành một tứ diện đều.

Trong hệ tọa độ, các đỉnh của tứ diện đều có thể được đặt như sau:
- \(A = (0, 0, 0)\)
- \(B = (a, 0, 0)\)
- \(C = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)\)
- \(D = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right)\)

Bây giờ, ta tính các độ dài \(AB\), \(AC\), và \(AD\):

1. Độ dài \(AB\):
\[ AB = \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{a^2} = a \]

2. Độ dài \(AC\):
\[ AC = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2} \]
\[ AC = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} \]
\[ AC = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} \]
\[ AC = \sqrt{a^2} = a \]

3. Độ dài \(AD\):
\[ AD = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{6} - 0\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{6}}{3} - 0\right)^2} \]
\[ AD = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)^2} \]
\[ AD = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{12} + \frac{2a^2}{3}} \]
\[ AD = \sqrt{\frac{3a^2}{12} + \frac{a^2}{12} + \frac{8a^2}{12}} \]
\[ AD = \sqrt{\frac{12a^2}{12}} \]
\[ AD = \sqrt{a^2} = a \]

Do đó, ta có:
\[ AB^2 = a^2 \]
\[ AC^2 = a^2 \]
\[ AD^2 = a^2 \]

Tổng bình phương các độ dài từ đỉnh \(A\) đến các đỉnh còn lại là:
\[ AB^2 + AC^2 + AD^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2 \]

Vậy, ta đã chứng minh rằng trong một tứ diện đều, tổng bình phương các độ dài từ một đỉnh đến các đỉnh còn lại bằng 3 lần bình phương độ dài một cạnh của tứ diện:
\[ AB^2 + AC^2 + AD^2 = 3a^2 \]