Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.

### Phần a: Chứng minh rằng ED + DC = BC

1. **Xét tam giác ABD và tam giác ADE:**
- AB = AE (giả thiết)
- AD là tia phân giác của góc BAC, nên góc BAD = góc EAD
- AD là cạnh chung

Do đó, tam giác ABD và tam giác ADE đồng dạng theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS).

2. **Suy ra:**
- BD = DE (do hai tam giác đồng dạng và AB = AE)

3. **Xét đoạn thẳng BC:**
- BC = BD + DC
- Mà BD = DE (đã chứng minh ở trên)

Do đó, BC = DE + DC.

### Phần b: Chứng minh AD vuông góc CF

1. **Xét tam giác ADE và tam giác ADF:**
- AD là cạnh chung
- DE cắt AB tại F

2. **Sử dụng tính chất của đường phân giác:**
- AD là phân giác của góc BAC, nên góc BAD = góc CAD
- Do đó, tam giác ADE và tam giác ADF đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

3. **Suy ra:**
- Góc EAD = góc FAD

4. **Do đó:**
- AD là đường phân giác của góc EAF, mà góc EAF là góc ngoài của tam giác ACF, nên góc EAF = 90 độ.

Vậy AD vuông góc với CF.

### Phần c: Chứng minh B, E, K thẳng hàng

1. **Xét điểm I là trung điểm của EC:**
- I là trung điểm của EC, nên EI = IC

2. **Trên tia đối của I lấy điểm K sao cho I là trung điểm của FK:**
- Do I là trung điểm của FK, nên FI = IK

3. **Xét tam giác EIC và tam giác FIK:**
- EI = IC (I là trung điểm của EC)
- FI = IK (I là trung điểm của FK)

4. **Suy ra:**
- Tam giác EIC và tam giác FIK đồng dạng theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (SSS).

5. **Do đó:**
- Góc EIC = góc FIK

6. **Vì I là trung điểm của EC và FK, nên K nằm trên đường thẳng nối B và E.**

Vậy B, E, K thẳng hàng.

Hy vọng rằng các bước trên đã giúp bạn giải quyết bài toán một cách chi tiết và rõ ràng.