Cho tam giác ABC có I là trung điểm AB và J là trung điểm AC

Để chứng minh rằng các điểm \( N \), \( A \), và \( P \) thẳng hàng, ta sẽ sử dụng các tính chất của trung điểm và các phép biến hình.

1. **Xác định các điểm trung điểm:**
- \( I \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( AI = IB \).
- \( J \) là trung điểm của \( AC \), do đó \( AJ = JC \).
- \( I \) là trung điểm của \( MN \), do đó \( IM = IN \).
- \( J \) là trung điểm của \( PJ \), do đó \( JM = JP \).

2. **Phân tích các vectơ:**
- Gọi \( M \) là điểm tùy ý trên \( BC \).
- Vì \( I \) là trung điểm của \( MN \), ta có:
\[
\vec{I} = \frac{\vec{M} + \vec{N}}{2} \Rightarrow \vec{N} = 2\vec{I} - \vec{M}
\]
- Vì \( J \) là trung điểm của \( PJ \), ta có:
\[
\vec{J} = \frac{\vec{P} + \vec{M}}{2} \Rightarrow \vec{P} = 2\vec{J} - \vec{M}
\]

3. **Xét vectơ \( \vec{N} \) và \( \vec{P} \):**
- Từ các biểu thức trên, ta có:
\[
\vec{N} = 2\vec{I} - \vec{M}
\]
\[
\vec{P} = 2\vec{J} - \vec{M}
\]

4. **Xét vectơ \( \vec{A} \):**
- Vì \( I \) là trung điểm của \( AB \), ta có:
\[
\vec{I} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \Rightarrow \vec{A} = 2\vec{I} - \vec{B}
\]
- Vì \( J \) là trung điểm của \( AC \), ta có:
\[
\vec{J} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} \Rightarrow \vec{A} = 2\vec{J} - \vec{C}
\]

5. **Chứng minh \( N, A, P \) thẳng hàng:**
- Ta cần chứng minh rằng các vectơ \( \vec{N} - \vec{A} \) và \( \vec{P} - \vec{A} \) cùng phương.
- Tính \( \vec{N} - \vec{A} \):
\[
\vec{N} - \vec{A} = (2\vec{I} - \vec{M}) - (2\vec{I} - \vec{B}) = \vec{B} - \vec{M}
\]
- Tính \( \vec{P} - \vec{A} \):
\[
\vec{P} - \vec{A} = (2\vec{J} - \vec{M}) - (2\vec{J} - \vec{C}) = \vec{C} - \vec{M}
\]
- Vì \( M \) nằm trên \( BC \), nên \( \vec{B} - \vec{M} \) và \( \vec{C} - \vec{M} \) cùng phương với \( \vec{B} - \vec{C} \).

Do đó, \( \vec{N} - \vec{A} \) và \( \vec{P} - \vec{A} \) cùng phương, nghĩa là các điểm \( N \), \( A \), và \( P \) thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( N \), \( A \), và \( P \) thẳng hàng.