Để chứng minh các phần của bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt đi qua từng phần một.

**Phần a: Chứng minh tứ giác BMDN là hình bình hành**

Giả sử ABCD là hình thang với AB // CD và AB > CD. Tia phân giác của góc B và D lần lượt cắt cạnh CD và AB tại M và N.

1. Vì M nằm trên tia phân giác của góc B, ta có:
\[
\frac{BM}{MD} = \frac{AB}{CD}
\]

2. Tương tự, vì N nằm trên tia phân giác của góc D, ta có:
\[
\frac{DN}{NA} = \frac{CD}{AB}
\]

3. Từ hai tỉ lệ trên, ta có:
\[
\frac{BM}{MD} = \frac{DN}{NA}
\]

4. Điều này có nghĩa là:
\[
BM \cdot NA = MD \cdot DN
\]

5. Do đó, tứ giác BMDN là hình bình hành vì hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

**Phần b: Chứng minh AN = CM**

1. Từ phần a, ta đã chứng minh rằng tứ giác BMDN là hình bình hành. Trong hình bình hành, các cạnh đối diện bằng nhau.

2. Do đó, ta có:
\[
AN = BM \quad \text{và} \quad DN = CM
\]

3. Vì BM = DN (do tứ giác BMDN là hình bình hành), ta suy ra:
\[
AN = CM
\]

**Phần c: Chứng minh AC, BD, MN đồng quy tại một điểm**

1. Gọi giao điểm của AC và BD là O.

2. Vì ABCD là hình thang, nên AC và BD cắt nhau tại một điểm O nằm trên đường trung bình của hình thang.

3. Tứ giác BMDN là hình bình hành, nên MN là đường chéo của hình bình hành này.

4. Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, MN cũng cắt AC và BD tại điểm O.

5. Vậy, AC, BD và MN đồng quy tại một điểm O.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được rằng:
a. Tứ giác BMDN là hình bình hành.
b. AN = CM.
c. AC, BD và MN đồng quy tại một điểm.