Gọi T là điểm đối xứng của A qua I

Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác, trung điểm, và các phép đối xứng. Dưới đây là các bước giải chi tiết cho từng phần của bài toán:

### Phần a) Chứng minh I là trọng tâm của tam giác TKH

1. **Xác định các điểm và tính chất:**
- I là trung điểm của BC.
- K là trung điểm của CA.
- H là trung điểm của AB.
- T là điểm đối xứng của A qua I, do đó I là trung điểm của AT.

2. **Chứng minh I là trọng tâm của tam giác TKH:**
- Ta cần chứng minh rằng I chia các đường trung tuyến của tam giác TKH theo tỉ lệ 2:1.
- Xét tam giác TKH, ta có:
- I là trung điểm của TK (vì I là trung điểm của AT và T là đối xứng của A qua I).
- K là trung điểm của CA và H là trung điểm của AB, do đó KH là đường trung tuyến của tam giác TKH.
- Vì I là trung điểm của TK và KH là đường trung tuyến, nên I chia đường trung tuyến KH theo tỉ lệ 2:1.
- Tương tự, ta có thể chứng minh rằng I chia các đường trung tuyến khác của tam giác TKH theo tỉ lệ 2:1.

Do đó, I là trọng tâm của tam giác TKH.

### Phần b) Chứng minh EF = 1/4 BC

1. **Xác định các điểm E và F:**
- E là giao điểm của HI và TK.
- F là giao điểm của KI và TH.

2. **Chứng minh EF = 1/4 BC:**
- Ta biết rằng I là trọng tâm của tam giác TKH, do đó các đường trung tuyến của tam giác này cắt nhau tại I và chia nhau theo tỉ lệ 2:1.
- Xét tam giác TKH, ta có:
- HI là đường trung tuyến từ H đến I.
- KI là đường trung tuyến từ K đến I.
- Vì I là trọng tâm, nên E và F là các điểm chia các đoạn HI và KI theo tỉ lệ 2:1.
- Do đó, đoạn EF nối hai điểm này sẽ bằng 1/4 của đoạn BC (vì I là trung điểm của BC và các đoạn trung tuyến chia nhau theo tỉ lệ 2:1).

Vậy EF = 1/4 BC.

### Phần c) Chứng minh M là trung điểm của CT

1. **Xác định điểm M:**
- M là giao điểm của BF và CT.

2. **Chứng minh M là trung điểm của CT:**
- Ta biết rằng I là trọng tâm của tam giác TKH, do đó các đường trung tuyến của tam giác này cắt nhau tại I và chia nhau theo tỉ lệ 2:1.
- Xét tam giác BCT, ta có:
- F là giao điểm của KI và TH, do đó F nằm trên đường trung tuyến của tam giác BCT.
- BF là đường trung tuyến từ B đến F.
- Vì I là trung điểm của BC và T là đối xứng của A qua I, nên CT là đường trung tuyến của tam giác BCT.
- Do đó, M là trung điểm của CT vì nó là giao điểm của hai đường trung tuyến BF và CT.

Vậy M là trung điểm của CT.