Giải hệ phương trình

Để giải hệ phương trình sau:

1. \( xy + 2x - y = 3 \)
2. \( \frac{1}{x^2 - 2x + 2} + \frac{2}{y^2 + 4y + 7} = 1 \)

Chúng ta sẽ giải từng phương trình một và sau đó kết hợp các kết quả để tìm nghiệm chung.

### Bước 1: Giải phương trình thứ hai

Phương trình thứ hai là:
\[ \frac{1}{x^2 - 2x + 2} + \frac{2}{y^2 + 4y + 7} = 1 \]

Đầu tiên, ta phân tích các biểu thức trong các mẫu số:

- \( x^2 - 2x + 2 \) có thể được viết lại dưới dạng hoàn chỉnh bình phương:
\[ x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 \]

- \( y^2 + 4y + 7 \) có thể được viết lại dưới dạng hoàn chỉnh bình phương:
\[ y^2 + 4y + 7 = (y+2)^2 + 3 \]

Do đó, phương trình trở thành:
\[ \frac{1}{(x-1)^2 + 1} + \frac{2}{(y+2)^2 + 3} = 1 \]

### Bước 2: Đặt ẩn phụ

Đặt \( u = (x-1)^2 + 1 \) và \( v = (y+2)^2 + 3 \), ta có:
\[ \frac{1}{u} + \frac{2}{v} = 1 \]

### Bước 3: Giải phương trình với ẩn phụ

Nhân cả hai vế với \( uv \):
\[ v + 2u = uv \]

Sắp xếp lại:
\[ uv - v - 2u = 0 \]

Thêm và bớt 2 vào vế trái:
\[ uv - v - 2u + 2 = 2 \]

Nhóm các hạng tử:
\[ v(u-1) - 2(u-1) = 2 \]

Đặt \( w = u - 1 \), ta có:
\[ v(w) - 2w = 2 \]
\[ w(v-2) = 2 \]
\[ (u-1)(v-2) = 2 \]

### Bước 4: Thay lại các biểu thức của \( u \) và \( v \)

\[ ((x-1)^2 + 1 - 1)((y+2)^2 + 3 - 2) = 2 \]
\[ (x-1)^2 \cdot ((y+2)^2 + 1) = 2 \]

### Bước 5: Giải phương trình thứ nhất

Phương trình thứ nhất là:
\[ xy + 2x - y = 3 \]

### Bước 6: Kết hợp các phương trình

Chúng ta cần giải hệ phương trình:
\[ (x-1)^2 \cdot ((y+2)^2 + 1) = 2 \]
\[ xy + 2x - y = 3 \]

Để giải hệ này, chúng ta có thể thử các giá trị cụ thể hoặc sử dụng phương pháp số học. Tuy nhiên, để đơn giản, ta có thể thử nghiệm các giá trị của \( x \) và \( y \) để tìm nghiệm.

### Bước 7: Thử nghiệm các giá trị

Giả sử \( x = 1 \):
\[ (1-1)^2 \cdot ((y+2)^2 + 1) = 2 \]
\[ 0 \cdot ((y+2)^2 + 1) = 2 \]
Điều này không thể xảy ra, do đó \( x \neq 1 \).

Giả sử \( x = 2 \):
\[ (2-1)^2 \cdot ((y+2)^2 + 1) = 2 \]
\[ 1 \cdot ((y+2)^2 + 1) = 2 \]
\[ (y+2)^2 + 1 = 2 \]
\[ (y+2)^2 = 1 \]
\[ y+2 = \pm 1 \]
\[ y = -1 \text{ hoặc } y = -3 \]

### Bước 8: Kiểm tra lại với phương trình thứ nhất

Nếu \( x = 2 \) và \( y = -1 \):
\[ 2(-1) + 2(2) - (-1) = 3 \]
\[ -2 + 4 + 1 = 3 \]
\[ 3 = 3 \] (Đúng)

Nếu \( x = 2 \) và \( y = -3 \):
\[ 2(-3) + 2(2) - (-3) = 3 \]
\[ -6 + 4 + 3 = 1 \]
\[ 1 \neq 3 \] (Sai)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[ x = 2, y = -1 \]