Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu.

### Phần a:
Chứng minh \( \Delta ADC = \Delta MDB \) và \( BD \parallel AC \).

**Chứng minh \( \Delta ADC = \Delta MDB \):**

1. Xét tam giác \( \Delta ADC \) và \( \Delta MDB \):
- \( D \) là trung điểm của \( AM \) nên \( AD = DM \).
- \( \angle ADC \) và \( \angle MDB \) là các góc đối đỉnh nên bằng nhau.
- \( DC \) là cạnh chung của hai tam giác.

2. Từ các điều kiện trên, ta có:
\[
\Delta ADC = \Delta MDB \quad (c.g.c)
\]

**Chứng minh \( BD \parallel AC \):**

1. Do \( \Delta ADC = \Delta MDB \), ta có:
\[
\angle ACD = \angle MBD
\]

2. Vì \( \angle ACD \) và \( \angle MBD \) là các góc so le trong khi \( BD \) và \( AC \) là các đoạn thẳng tương ứng, ta suy ra:
\[
BD \parallel AC
\]

### Phần b:
Gọi \( N \) là trung điểm của \( AC \). Đường thẳng \( ND \) cắt \( BM \) tại \( K \). Chứng minh \( D \) là trung điểm \( KN \).

1. Gọi \( G \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \). Ta có \( G \) nằm trên \( AD \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \).

2. Do \( D \) là trung điểm của \( AM \), ta có:
\[
AD = DM
\]

3. Xét tam giác \( ANC \) với \( N \) là trung điểm của \( AC \) và \( D \) là trung điểm của \( AM \), ta có:
\[
ND \parallel BM \quad \text{(do \( D \) là trung điểm của \( AM \))}
\]

4. Do \( ND \parallel BM \) và \( ND \) cắt \( BM \) tại \( K \), ta có:
\[
D \text{ là trung điểm của } KN
\]

### Phần c:
Gọi \( I, E \) lần lượt là trung điểm của \( AK \) và \( AB \). Chứng minh ba đường thẳng \( AD, CE, NI \) đồng quy.

1. Xét tam giác \( AKC \) với \( I \) là trung điểm của \( AK \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \), ta có:
\[
NI \parallel KC \quad \text{(định lý đường trung bình)}
\]

2. Xét tam giác \( ABC \) với \( E \) là trung điểm của \( AB \) và \( C \) là đỉnh, ta có:
\[
CE \text{ là đường trung tuyến của tam giác } ABC
\]

3. Do \( D \) là trung điểm của \( KN \) và \( AD \) là đường trung tuyến của tam giác \( ABC \), ta có:
\[
AD, CE, NI \text{ đồng quy tại trọng tâm của tam giác } ABC
\]

Từ các chứng minh trên, ta kết luận rằng ba đường thẳng \( AD, CE, NI \) đồng quy tại một điểm.