Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB < CD). Kẻ AH vuông CD, BK vuông CD (H khác K ). Chứng minh tứ giác ABKH là hình chữ nhật

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt đi qua từng phần một cách chi tiết.

### a) Tính các góc A và B của hình thang ABCD
Vì ABCD là hình thang cân, nên hai góc kề với mỗi cạnh đáy là bằng nhau. Do đó, ta có:
- \(\angle A = \angle D\)
- \(\angle B = \angle C\)

Vì AB // CD, nên \(\angle A + \angle D = 180^\circ\) (hai góc trong cùng phía của hai đường thẳng song song).

Do đó, ta có:
\[
\angle A + \angle A = 180^\circ \implies 2\angle A = 180^\circ \implies \angle A = 90^\circ
\]
Vậy \(\angle A = \angle B = 90^\circ\).

### b) Chứng minh tứ giác ABKH là hình chữ nhật
Kẻ \(AH \perp CD\) và \(BK \perp CD\). Vì \(AB // CD\) và \(AH \perp CD\), \(BK \perp CD\), nên \(AH \perp AB\) và \(BK \perp AB\).

Do đó, tứ giác ABKH có:
- \(AH \perp AB\)
- \(BK \perp AB\)
- \(AB // HK\) (vì \(AH \perp CD\) và \(BK \perp CD\))

Vậy tứ giác ABKH là hình chữ nhật.

### c) Chứng minh tứ giác ABED là hình bình hành
Trên cạnh CD lấy điểm E sao cho KE = KC. Vì \(K\) là trung điểm của \(CD\), nên \(E\) cũng là trung điểm của \(CD\).

Do đó, \(KE = KC\) và \(AB // CD\), nên \(AB // DE\) và \(AD // BE\).

Vậy tứ giác ABED là hình bình hành.

### d) Chứng minh 3 điểm B, O, D thẳng hàng
Gọi \(O\) là trung điểm của \(AE\). Vì \(E\) là trung điểm của \(CD\), nên \(O\) là trung điểm của \(AE\).

Trong hình bình hành ABED, đường chéo cắt nhau tại trung điểm của chúng. Do đó, \(O\) là trung điểm của \(AE\) và \(BD\).

Vậy 3 điểm \(B\), \(O\), \(D\) thẳng hàng.

### e) Tìm điều kiện của hình thang ABCD để tứ giác ABED là hình thoi
Để tứ giác ABED là hình thoi, các cạnh của nó phải bằng nhau. Vì ABED là hình bình hành, nên ta chỉ cần kiểm tra điều kiện để các cạnh của nó bằng nhau.

Điều kiện để \(AB = AD\) là:
\[
AB = AD
\]

Vì \(AB // CD\) và \(AB < CD\), nên \(AB = AD\) khi và chỉ khi \(AB = AD\).

Vậy điều kiện để tứ giác ABED là hình thoi là \(AB = AD\).