Để chứng minh rằng \( A = \frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \ldots + \frac{1}{60} < \frac{4}{5} \), ta có thể sử dụng tính chất của các chuỗi số nghịch đảo và so sánh với tích phân.

Trước tiên, ta nhận thấy rằng tổng \( A \) là tổng của các số nghịch đảo từ \(\frac{1}{31}\) đến \(\frac{1}{60}\). Tổng này có thể được so sánh với tích phân của hàm số \( \frac{1}{x} \) trên đoạn \([31, 61]\).

Xét tích phân:
\[
\int_{31}^{61} \frac{1}{x} \, dx
\]

Tích phân này có thể được tính như sau:
\[
\int_{31}^{61} \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| \Big|_{31}^{61} = \ln(61) - \ln(31) = \ln\left(\frac{61}{31}\right)
\]

Bây giờ, ta cần tính giá trị của \( \ln\left(\frac{61}{31}\right) \):
\[
\frac{61}{31} \approx 1.9677
\]
\[
\ln(1.9677) \approx 0.676
\]

Vậy:
\[
\int_{31}^{61} \frac{1}{x} \, dx \approx 0.676
\]

Tổng \( A \) là tổng của các số nghịch đảo từ \(\frac{1}{31}\) đến \(\frac{1}{60}\), và ta biết rằng tổng này sẽ nhỏ hơn tích phân của hàm số \( \frac{1}{x} \) trên đoạn \([31, 61]\) vì hàm số \( \frac{1}{x} \) là hàm giảm.

Do đó:
\[
A < \int_{31}^{61} \frac{1}{x} \, dx \approx 0.676
\]

Ta cần chứng minh rằng \( 0.676 < \frac{4}{5} \):
\[
\frac{4}{5} = 0.8
\]

Rõ ràng là:
\[
0.676 < 0.8
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
A < \frac{4}{5}
\]

Như vậy, \( A = \frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \ldots + \frac{1}{60} < \frac{4}{5} \).