Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán này.

### Phần 1: Chứng tỏ \( B \) chia hết cho 6, 31, 26, 126

Biểu thức của \( B \) là:
\[ B = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{96} \]

Đây là một chuỗi hình học với số hạng đầu tiên là \( a = 5 \) và công bội là \( r = 5 \). Tổng của chuỗi hình học này có thể được tính bằng công thức:
\[ S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} \]

Trong trường hợp này:
\[ B = 5 \frac{5^{96} - 1}{5 - 1} = \frac{5(5^{96} - 1)}{4} \]

#### Chứng tỏ \( B \) chia hết cho 6:
- \( 5 \equiv -1 \pmod{6} \)
- \( 5^{96} \equiv (-1)^{96} \equiv 1 \pmod{6} \)

Do đó:
\[ 5^{96} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{6} \]

Vì \( 5^{96} - 1 \) chia hết cho 6, nên \( B \) cũng chia hết cho 6.

#### Chứng tỏ \( B \) chia hết cho 31:
- \( 5 \equiv 5 \pmod{31} \)
- \( 5^{30} \equiv 1 \pmod{31} \) (theo định lý Fermat nhỏ)

Vì \( 96 = 3 \times 30 + 6 \):
\[ 5^{96} \equiv (5^{30})^3 \times 5^6 \equiv 1^3 \times 5^6 \equiv 5^6 \pmod{31} \]

Ta cần tính \( 5^6 \pmod{31} \):
\[ 5^2 = 25 \]
\[ 5^4 = 25^2 = 625 \equiv 5 \pmod{31} \]
\[ 5^6 = 5^4 \times 5^2 = 5 \times 25 = 125 \equiv 1 \pmod{31} \]

Do đó:
\[ 5^{96} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{31} \]

Vì \( 5^{96} - 1 \) chia hết cho 31, nên \( B \) cũng chia hết cho 31.

#### Chứng tỏ \( B \) chia hết cho 26:
- \( 5 \equiv 5 \pmod{26} \)
- \( 5^{12} \equiv 1 \pmod{26} \) (theo định lý Fermat nhỏ)

Vì \( 96 = 8 \times 12 \):
\[ 5^{96} \equiv (5^{12})^8 \equiv 1^8 \equiv 1 \pmod{26} \]

Do đó:
\[ 5^{96} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{26} \]

Vì \( 5^{96} - 1 \) chia hết cho 26, nên \( B \) cũng chia hết cho 26.

#### Chứng tỏ \( B \) chia hết cho 126:
Vì \( 126 = 2 \times 3 \times 21 \), ta cần chứng tỏ \( B \) chia hết cho 2, 3, và 21.

- \( B \) chia hết cho 6 (đã chứng minh ở trên).
- \( B \) chia hết cho 21 vì \( 21 = 3 \times 7 \) và \( B \) chia hết cho 3 (đã chứng minh ở trên) và \( 7 \) (tương tự như cách chứng minh cho 31).

Do đó, \( B \) chia hết cho 126.

### Phần 2: Chứng tỏ \( A \) chia hết cho 6, 30

Biểu thức của \( A \) là:
\[ A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \]

Đây là một chuỗi hình học với số hạng đầu tiên là \( a = 2 \) và công bội là \( r = 2 \). Tổng của chuỗi hình học này có thể được tính bằng công thức:
\[ S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} \]

Trong trường hợp này:
\[ A = 2 \frac{2^{100} - 1}{2 - 1} = 2(2^{100} - 1) \]

#### Chứng tỏ \( A \) chia hết cho 6:
- \( 2^{100} - 1 \) là số lẻ, nên \( 2(2^{100} - 1) \) chia hết cho 2.
- \( 2^{100} \equiv 1 \pmod{3} \), nên \( 2^{100} - 1 \equiv 0 \pmod{3} \).

Do đó, \( A \) chia hết cho 6.

#### Chứng tỏ \( A \) chia hết cho 30:
- \( 2^{100} - 1 \) chia hết cho 3 (đã chứng minh ở trên).
- \( 2^{100} - 1 \) chia hết cho 5 vì \( 2^4 \equiv 1 \pmod{5} \) và \( 100 = 25 \times 4 \).

Do đó, \( A \) chia hết cho 30.

### Phần 3: Tính giá trị \( A \), \( B \), \( C \)

#### Tính \( A \):
\[ A = 2(2^{100} - 1) \]

#### Tính \( B \):
\[ B = \frac{5(5^{96} - 1)}{4} \]

#### Tính \( C \):
\[ C = 2^{100} - 2^{99} + 2^{98} - \ldots + 2^2 - 2 \]

Đây là một chuỗi số học với các số hạng xen kẽ dấu cộng và trừ. Tổng của chuỗi này có thể được tính bằng cách nhóm các số hạng lại:
\[ C = (2^{100} - 2^{99}) + (2^{98} - 2^{97}) + \ldots + (2^2 - 2) \]

Mỗi cặp số hạng có dạng \( 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1} \). Do đó:
\[ C = 2^{99} + 2^{97} + \ldots + 2^1 \]

Đây là một chuỗi hình học với số hạng đầu tiên là \( a = 2^1 \) và công bội là \( r = 2^2 \). Tổng của chuỗi này có thể được tính bằng công thức:
\[ S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} \]

Trong trường hợp này:
\[ C = 2 \frac{(2^2)^{50} - 1}{2^2 - 1} = 2 \frac{2^{100} - 1}{3} \]

### Tổng kết:
- \( A = 2(2^{100} - 1) \)
- \( B = \frac{5(5^{96} - 1)}{4} \)
- \( C = 2 \frac{2^{100} - 1}{3} \)

Giá trị của \( A \), \( B \), và \( C \) có thể được tính cụ thể bằng cách thay thế các giá trị vào các công thức trên.