a) Xét ΔDHB và ΔDBC có

\(\widehat{DHB}=\widehat{DBC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{BDC}\) chung

Do đó: ΔDHB∼ΔDBC(g-g)

b) Xét ΔHBD và ΔHCB có

\(\widehat{BHD}=\widehat{CHB}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{HBD}=\widehat{HCB}\)(cùng phụ với \(\widehat{HBC}\))

Do đó: ΔHBD∼ΔHCB(g-g)

⇒\(\frac{HB}{HC}=\frac{HD}{HB}\)

⇒\(HB^2=DH\cdot CH=16\cdot9=144\)

hay \(HB=\sqrt{144}=12cm\)

Áp dụng định lí pytago vào ΔBDH vuông tại H, ta được:

\(BD^2=BH^2+DH^2\)

\(\Leftrightarrow BD^2=12^2+16^2=400\)

hay \(BD=\sqrt{400}=20cm\)

Ta có: ABCD là hình thang cân(gt)

⇒AC=BD(hai đường chéo của hình thang cân ABCD)

mà BD=20cm(cmt)

nên AC=20cm

Vậy: BD=20cm; AC=20cm

c) Kẻ đường cao AF(F∈DC)

Ta có: AF⊥DC(theo cách vẽ)

BH⊥DC(gt)

Do đó: AF//BH(định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Ta có: AB//CD(ABCD là hình thang cân)

mà F∈CD(theo cách vẽ)

và H∈CD(gt)

nên AB//HF

Xét tứ giác ABHF có AB//HF(cmt) và AF//BH(cmt)

nên ABHF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

⇒AB=FH(hai cạnh đối của hình bình hành ABHF)(1)

Xét ΔAFD vuông tại F và ΔBHC vuông tại H có

AD=BC(hai cạnh bên của hình thang cân ABCD)

\(\widehat{ADF}=\widehat{BCH}\)(hai góc kề một đáy của hình thang cân ABCD)

Do đó: ΔAFD=ΔBHC(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒DF=HC(hai cạnh tương ứng)

mà HC=9cm

nên DF=9cm

Ta có: DF+FH+HC=DC

hay FH=DC-DF-HC=25-9-9=7(cm)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AB=7cm

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot BH=\frac{7+25}{2}\cdot12=192cm^2\)