Để chứng minh \( A = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \ldots + \frac{1}{200} > \frac{7}{12} \), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức tích phân để ước lượng tổng các nghịch đảo này.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng hàm \( f(x) = \frac{1}{x} \) là một hàm giảm trên khoảng \([101, 200]\). Do đó, ta có thể sử dụng tích phân để ước lượng tổng này.

Xét tích phân sau:
\[
\int_{101}^{201} \frac{1}{x} \, dx
\]

Tích phân này sẽ cho ta một ước lượng gần đúng cho tổng các nghịch đảo từ \(\frac{1}{101}\) đến \(\frac{1}{200}\). Tính tích phân này ta được:
\[
\int_{101}^{201} \frac{1}{x} \, dx = \ln(201) - \ln(101) = \ln\left(\frac{201}{101}\right)
\]

Bây giờ, ta tính giá trị của \(\ln\left(\frac{201}{101}\right)\):
\[
\frac{201}{101} \approx 1.9901
\]
\[
\ln(1.9901) \approx 0.688
\]

Vậy, ta có:
\[
\int_{101}^{201} \frac{1}{x} \, dx \approx 0.688
\]

Tuy nhiên, tích phân này bao gồm cả \(\frac{1}{201}\), vì vậy ta cần điều chỉnh lại để chỉ tính từ \(\frac{1}{101}\) đến \(\frac{1}{200}\). Ta có thể ước lượng rằng:
\[
\int_{101}^{200} \frac{1}{x} \, dx \approx \ln\left(\frac{200}{101}\right)
\]

Tính giá trị của \(\ln\left(\frac{200}{101}\right)\):
\[
\frac{200}{101} \approx 1.9802
\]
\[
\ln(1.9802) \approx 0.683
\]

Vậy, ta có:
\[
\int_{101}^{200} \frac{1}{x} \, dx \approx 0.683
\]

Bây giờ, ta so sánh với \(\frac{7}{12}\):
\[
\frac{7}{12} \approx 0.583
\]

Rõ ràng là:
\[
0.683 > 0.583
\]

Do đó, ta có:
\[
A = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \ldots + \frac{1}{200} > \frac{7}{12}
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( A > \frac{7}{12} \).