Để giải hệ phương trình đã cho, ta thực hiện các bước sau:

### a) Giải hệ phương trình khi \( m = 2 \)

Thay \( m = 2 \) vào hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + 2y = 3 \\
2x + y = 4
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Nhân phương trình thứ hai với 2:

\[
\begin{cases}
x + 2y = 3 \\
4x + 2y = 8
\end{cases}
\]

Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai:

\[
4x + 2y - (x + 2y) = 8 - 3 \\
3x = 5 \\
x = \frac{5}{3}
\]

Thay \( x = \frac{5}{3} \) vào phương trình thứ nhất:

\[
\frac{5}{3} + 2y = 3 \\
2y = 3 - \frac{5}{3} \\
2y = \frac{9}{3} - \frac{5}{3} \\
2y = \frac{4}{3} \\
y = \frac{2}{3}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = 2 \) là \( (x, y) = \left( \frac{5}{3}, \frac{2}{3} \right) \).

### b) Tìm \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) thỏa mãn \( x \geq 2 \) và \( y \geq 1 \)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác 0:

\[
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & m \\
m & 1
\end{vmatrix} = 1 - m^2 \neq 0 \\
\Rightarrow m^2 \neq 1 \\
\Rightarrow m \neq 1 \text{ và } m \neq -1
\]

Giải hệ phương trình tổng quát:

\[
\begin{cases}
x + my = m + 1 \\
mx + y = 2m
\end{cases}
\]

Nhân phương trình thứ hai với \( m \):

\[
\begin{cases}
x + my = m + 1 \\
m^2x + my = 2m^2
\end{cases}
\]

Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai:

\[
m^2x + my - (x + my) = 2m^2 - (m + 1) \\
m^2x - x = 2m^2 - m - 1 \\
x(m^2 - 1) = m(2m - 1) - 1 \\
x = \frac{m(2m - 1) - 1}{m^2 - 1}
\]

Thay \( x \) vào phương trình thứ nhất để tìm \( y \):

\[
\frac{m(2m - 1) - 1}{m^2 - 1} + my = m + 1 \\
my = m + 1 - \frac{m(2m - 1) - 1}{m^2 - 1} \\
y = \frac{(m + 1)(m^2 - 1) - (m(2m - 1) - 1)}{m(m^2 - 1)} \\
y = \frac{m^3 + m^2 - m - 1 - 2m^2 + m + 1}{m(m^2 - 1)} \\
y = \frac{m^3 - m^2}{m(m^2 - 1)} \\
y = \frac{m(m^2 - 1)}{m(m^2 - 1)} \\
y = 1
\]

Vậy \( y = 1 \) và \( x = \frac{m(2m - 1) - 1}{m^2 - 1} \).

Để thỏa mãn \( x \geq 2 \) và \( y \geq 1 \):

\[
\frac{m(2m - 1) - 1}{m^2 - 1} \geq 2
\]

Giải bất phương trình này để tìm giá trị của \( m \). Sau khi giải, ta được:

\[
m \geq 2 \text{ hoặc } m \leq -1
\]

Kết hợp với điều kiện \( m \neq 1 \) và \( m \neq -1 \), ta có:

\[
m \geq 2 \text{ hoặc } m < -1
\]

Vậy giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) thỏa mãn \( x \geq 2 \) và \( y \geq 1 \) là \( m \geq 2 \) hoặc \( m < -1 \).