Để chứng minh rằng \( A = \frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \ldots + \frac{1}{60} < \frac{4}{5} \), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức tích phân để ước lượng tổng của các nghịch đảo này.

Xét hàm số \( f(x) = \frac{1}{x} \). Hàm số này là hàm giảm trên đoạn \([31, 60]\). Do đó, chúng ta có thể sử dụng tích phân để ước lượng tổng này.

Ta có:
\[ \int_{31}^{61} \frac{1}{x} \, dx < \sum_{n=31}^{60} \frac{1}{n} < \int_{30}^{60} \frac{1}{x} \, dx \]

Tính tích phân:
\[ \int_{31}^{61} \frac{1}{x} \, dx = \ln(61) - \ln(31) = \ln\left(\frac{61}{31}\right) \]

\[ \int_{30}^{60} \frac{1}{x} \, dx = \ln(60) - \ln(30) = \ln\left(\frac{60}{30}\right) = \ln(2) \]

Chúng ta cần tính giá trị của \( \ln\left(\frac{61}{31}\right) \) và \( \ln(2) \).

Ta biết rằng:
\[ \ln(2) \approx 0.693 \]

Bây giờ, tính \( \ln\left(\frac{61}{31}\right) \):
\[ \frac{61}{31} \approx 1.9677 \]
\[ \ln(1.9677) \approx 0.676 \]

Do đó:
\[ \ln\left(\frac{61}{31}\right) \approx 0.676 \]

Vậy:
\[ 0.676 < \sum_{n=31}^{60} \frac{1}{n} < 0.693 \]

Chúng ta cần chứng minh rằng \( 0.676 < \frac{4}{5} \).

Ta có:
\[ \frac{4}{5} = 0.8 \]

Rõ ràng:
\[ 0.676 < 0.8 \]

Do đó, ta có:
\[ \sum_{n=31}^{60} \frac{1}{n} < 0.8 \]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[ A = \frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \ldots + \frac{1}{60} < \frac{4}{5} \]

Điều này hoàn tất chứng minh.