Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình.

Gọi \( x \) là thời gian để vòi 1 chảy đầy bể (giờ) và \( y \) là thời gian để vòi 2 chảy đầy bể (giờ).

1. Khi cả hai vòi cùng chảy, thời gian để đầy bể là 12 giờ. Do đó, lượng nước mà mỗi vòi chảy trong 1 giờ là:
- Vòi 1: \(\frac{1}{x}\) bể
- Vòi 2: \(\frac{1}{y}\) bể

Tổng lượng nước mà cả hai vòi chảy trong 1 giờ là:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}
\]

2. Khi vòi 1 chảy trong 3 giờ, lượng nước mà vòi 1 chảy được là:
\[
3 \times \frac{1}{x} = \frac{3}{x} \text{ bể}
\]

Sau đó, vòi 2 chảy trong 4 giờ, lượng nước mà vòi 2 chảy được là:
\[
4 \times \frac{1}{y} = \frac{4}{y} \text{ bể}
\]

Tổng lượng nước mà cả hai vòi chảy được là:
\[
\frac{3}{x} + \frac{4}{y} = \frac{2}{7}
\]

Bây giờ ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\
\frac{3}{x} + \frac{4}{y} = \frac{2}{7}
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình thứ nhất, ta có:
\[
\frac{1}{x} = \frac{1}{12} - \frac{1}{y}
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
3 \left( \frac{1}{12} - \frac{1}{y} \right) + \frac{4}{y} = \frac{2}{7}
\]

Giải phương trình này:
\[
\frac{3}{12} - \frac{3}{y} + \frac{4}{y} = \frac{2}{7}
\]
\[
\frac{1}{4} + \frac{1}{y} = \frac{2}{7}
\]
\[
\frac{1}{y} = \frac{2}{7} - \frac{1}{4}
\]
\[
\frac{1}{y} = \frac{8 - 7}{28} = \frac{1}{28}
\]
\[
y = 28
\]

Thay \( y = 28 \) vào phương trình thứ nhất:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{28} = \frac{1}{12}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{1}{12} - \frac{1}{28}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{7 - 3}{84} = \frac{4}{84} = \frac{1}{21}
\]
\[
x = 21
\]

Vậy thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là:
- Vòi 1: 21 giờ
- Vòi 2: 28 giờ