a) Tính hiệu \( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+4} \):

\[ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+4} = \frac{(n+4) - n}{n(n+4)} = \frac{4}{n(n+4)} \]

b) Sử dụng kết quả câu a, rút gọn biểu thức sau:

\[ B = \frac{4}{n(n+4)} + \frac{4}{(n+4)(n+8)} + \frac{4}{(n+8)(n+12)} \]

Dựa vào kết quả câu a, ta có:

\[ \frac{4}{n(n+4)} = 4 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+4} \right) \]
\[ \frac{4}{(n+4)(n+8)} = 4 \left( \frac{1}{n+4} - \frac{1}{n+8} \right) \]
\[ \frac{4}{(n+8)(n+12)} = 4 \left( \frac{1}{n+8} - \frac{1}{n+12} \right) \]

Do đó:

\[ B = 4 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+4} \right) + 4 \left( \frac{1}{n+4} - \frac{1}{n+8} \right) + 4 \left( \frac{1}{n+8} - \frac{1}{n+12} \right) \]

Các số hạng trung gian triệt tiêu nhau, ta được:

\[ B = 4 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+12} \right) \]

c) Sử dụng kết quả câu b, tính nhanh giá trị biểu thức:

\[ N = \frac{4}{2 \cdot 6} + \frac{4}{6 \cdot 10} + \frac{4}{10 \cdot 14} + \ldots + \frac{4}{34 \cdot 38} \]

Dựa vào kết quả câu b, ta có:

\[ \frac{4}{2 \cdot 6} = 4 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) \]
\[ \frac{4}{6 \cdot 10} = 4 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{10} \right) \]
\[ \frac{4}{10 \cdot 14} = 4 \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{14} \right) \]
\[ \ldots \]
\[ \frac{4}{34 \cdot 38} = 4 \left( \frac{1}{34} - \frac{1}{38} \right) \]

Do đó:

\[ N = 4 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) + 4 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{10} \right) + 4 \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{14} \right) + \ldots + 4 \left( \frac{1}{34} - \frac{1}{38} \right) \]

Các số hạng trung gian triệt tiêu nhau, ta được:

\[ N = 4 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{38} \right) = 4 \left( \frac{19}{38} - \frac{1}{38} \right) = 4 \left( \frac{18}{38} \right) = 4 \cdot \frac{9}{19} = \frac{36}{19} \]