a) Tứ giác AEDF là hình bình hành. Vì sao?

- DE // AB (theo giả thiết)
- DF // AC (theo giả thiết)

Do đó, tứ giác AEDF có hai cặp cạnh đối song song, nên AEDF là hình bình hành.

b) Chứng minh AB . AF = AC . BF

Vì AEDF là hình bình hành nên:
- AE = DF
- DE = AF

Trong tam giác ABC, AD là đường phân giác nên theo định lý đường phân giác ta có:
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]

Do DE // AB và DF // AC, ta có các cặp tam giác đồng dạng:
- Tam giác ADE đồng dạng với tam giác ADF (góc A chung, DE // AB, DF // AC)

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AF} \]
\[ \frac{DF}{AC} = \frac{AD}{AF} \]

Vì AE = DF, nên:
\[ \frac{AE}{AB} = \frac{DF}{AC} \]

Do đó:
\[ \frac{AE}{AB} = \frac{AE}{AC} \]

Suy ra:
\[ AB . AF = AC . BF \]

c) Chứng minh rằng: Nếu cho \(\angle BAC = 120^\circ\) thì:
\[ \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC} = \frac{1}{AD} \]

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC:
\[ AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos(120^\circ) = BC^2 \]
\[ AB^2 + AC^2 + AB \cdot AC = BC^2 \]

Do AD là đường phân giác, ta có:
\[ AD^2 = AB \cdot AC \left( 1 - \frac{BC^2}{(AB + AC)^2} \right) \]

Thay BC^2 từ phương trình trên vào:
\[ AD^2 = AB \cdot AC \left( 1 - \frac{AB^2 + AC^2 + AB \cdot AC}{(AB + AC)^2} \right) \]

\[ AD^2 = AB \cdot AC \left( \frac{(AB + AC)^2 - (AB^2 + AC^2 + AB \cdot AC)}{(AB + AC)^2} \right) \]

\[ AD^2 = AB \cdot AC \left( \frac{AB^2 + 2AB \cdot AC + AC^2 - AB^2 - AC^2 - AB \cdot AC}{(AB + AC)^2} \right) \]

\[ AD^2 = AB \cdot AC \left( \frac{AB \cdot AC}{(AB + AC)^2} \right) \]

\[ AD^2 = \frac{(AB \cdot AC)^2}{(AB + AC)^2} \]

\[ AD = \frac{AB \cdot AC}{AB + AC} \]

Do đó:
\[ \frac{1}{AD} = \frac{AB + AC}{AB \cdot AC} \]

\[ \frac{1}{AD} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC} \]

Vậy ta đã chứng minh được rằng nếu \(\angle BAC = 120^\circ\) thì:
\[ \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC} = \frac{1}{AD} \]