Chứng minh A, G, M thẳng hàng

Để chứng minh A, G, M thẳng hàng, ta thực hiện các bước sau:

a) Chứng minh A, G, M thẳng hàng:

1. **Xác định các điểm và tính chất:**
- B là trung điểm của AD, do đó \( AB = BD \).
- K là trung điểm của AC, do đó \( AK = KC \).
- DK cắt BC tại G.
- Từ K kẻ đường thẳng song song với AD cắt DC tại M.

2. **Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( \triangle ADC \) với đường thẳng cắt các cạnh tại \( K, G, M \):**
- Định lý Menelaus: Trong tam giác \( \triangle ADC \), nếu một đường thẳng cắt các cạnh \( AD, DC \) và \( AC \) tại các điểm \( K, G, M \) tương ứng, thì:
\[
\frac{AK}{KC} \cdot \frac{CM}{MD} \cdot \frac{DG}{GA} = 1
\]

3. **Xác định các tỉ lệ:**
- Vì \( K \) là trung điểm của \( AC \), nên \( \frac{AK}{KC} = 1 \).
- Vì \( K \) là trung điểm của \( AC \) và \( KM \parallel AD \), nên \( M \) là trung điểm của \( DC \), do đó \( \frac{CM}{MD} = 1 \).

4. **Áp dụng định lý Menelaus:**
- Thay các tỉ lệ vào định lý Menelaus:
\[
1 \cdot 1 \cdot \frac{DG}{GA} = 1 \implies \frac{DG}{GA} = 1 \implies DG = GA
\]
- Điều này có nghĩa là \( G \) là trung điểm của \( DA \).

5. **Kết luận:**
- Vì \( G \) là trung điểm của \( DA \) và \( M \) là trung điểm của \( DC \), nên \( A, G, M \) thẳng hàng.

b) Chứng minh GQ song song với DC:

1. **Xác định điểm Q:**
- Trên \( AC \) lấy điểm \( Q \) sao cho \( AQ = 3 \cdot QC \).

2. **Sử dụng định lý Thales:**
- Trong tam giác \( \triangle ADC \), nếu \( AQ = 3 \cdot QC \), thì \( Q \) chia \( AC \) theo tỉ lệ 3:1.
- Do đó, \( \frac{AQ}{QC} = 3 \).

3. **Sử dụng tính chất đường trung bình:**
- Vì \( G \) là trung điểm của \( DA \) và \( K \) là trung điểm của \( AC \), nên \( GK \parallel DC \).
- Từ \( K \) kẻ đường thẳng song song với \( AD \) cắt \( DC \) tại \( M \), nên \( KM \parallel AD \).

4. **Áp dụng định lý Thales cho tam giác \( \triangle ADC \):**
- Vì \( Q \) chia \( AC \) theo tỉ lệ 3:1, nên \( GQ \parallel DC \).

5. **Kết luận:**
- Do đó, \( GQ \parallel DC \).