Để giải quyết các bài toán liên quan đến hình bình hành ABCD với các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ lần lượt giải từng phần:

### Phần a) Chứng minh tứ giác ECDF là hình thoi

1. **Tính chất trung điểm và hình bình hành:**
- E là trung điểm của BC, nên \( BE = EC \).
- F là trung điểm của AD, nên \( AF = FD \).

2. **Tính độ dài các đoạn thẳng:**
- Vì \( BC = AB = 2 \), nên \( BE = EC = 1 \).
- Vì \( AD = AB \) (do ABCD là hình bình hành), nên \( AD = 2 \). Do đó, \( AF = FD = 1 \).

3. **Chứng minh các cạnh của tứ giác ECDF bằng nhau:**
- \( EC = BE = 1 \).
- \( FD = AF = 1 \).

4. **Chứng minh các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của chúng:**
- Trong hình bình hành, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của chúng. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
- Vì E và F là trung điểm của BC và AD, nên \( EO \) và \( FO \) cũng là các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện.

5. **Kết luận:**
- Tứ giác ECDF có các cạnh bằng nhau và các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của chúng, nên ECDF là hình thoi.

### Phần b) Tứ giác ABED là hình gì? Vì sao?

1. **Xét các cạnh và góc của tứ giác ABED:**
- AB là cạnh của hình bình hành.
- BE là nửa cạnh của hình bình hành (vì E là trung điểm của BC).
- AD là cạnh của hình bình hành.
- DE là nửa cạnh của hình bình hành (vì E là trung điểm của BC).

2. **Tính chất của hình bình hành:**
- Trong hình bình hành, các cạnh đối diện song song và bằng nhau.
- Góc BAD = 60°, nên góc BAE = 30° (vì E là trung điểm của BC).

3. **Kết luận:**
- Tứ giác ABED có hai cạnh đối diện song song và bằng nhau (AB song song với DE, AD song song với BE), nên ABED là hình bình hành.

### Phần c) Tính góc AED

1. **Xét tam giác AED:**
- E là trung điểm của BC, nên \( BE = EC = 1 \).
- F là trung điểm của AD, nên \( AF = FD = 1 \).

2. **Sử dụng tính chất của hình thoi ECDF:**
- Trong hình thoi, các đường chéo vuông góc với nhau.
- Do đó, góc EDF = 90°.

3. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác ABE là tam giác đều (vì AB = BE = AE = 1 và góc BAE = 30°).

4. **Kết luận:**
- Góc AED là góc giữa hai đường chéo của hình thoi ECDF, nên góc AED = 90°.

Vậy, các kết quả là:
a) Tứ giác ECDF là hình thoi.
b) Tứ giác ABED là hình bình hành.
c) Góc AED = 90°.