Để chứng minh \( EF \parallel BC \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học và các phép biến đổi hình học. Dưới đây là các bước chi tiết:

1. **Xác định các điểm và đường thẳng liên quan:**
- Tam giác \( ABC \) nhọn với đường cao \( AH \).
- Điểm \( D \) nằm trên \( AH \) sao cho \( A \) nằm giữa \( D \) và \( H \).
- Qua \( A \), kẻ đường thẳng vuông góc với \( AB \) và \( AC \), cắt \( DC \) tại \( E \) và \( DB \) tại \( F \).

2. **Xét các tam giác vuông:**
- Do \( AE \perp AB \) và \( AF \perp AC \), ta có:
\[
\angle EAD = \angle FAD = 90^\circ
\]
- Điều này cho thấy \( AE \) và \( AF \) là các đường cao của các tam giác \( ADE \) và \( ADF \).

3. **Sử dụng tính chất của đường cao:**
- Vì \( AE \perp AB \) và \( AF \perp AC \), ta có:
\[
\angle EAD = \angle FAD = 90^\circ
\]
- Điều này cho thấy \( AE \) và \( AF \) là các đường cao của các tam giác \( ADE \) và \( ADF \).

4. **Sử dụng tính chất đồng dạng:**
- Xét các tam giác \( ADE \) và \( ADF \):
\[
\angle ADE = \angle ADF = 90^\circ
\]
- Do đó, các tam giác \( ADE \) và \( ADF \) đồng dạng với nhau theo góc góc (AA).

5. **Sử dụng tính chất của các đường thẳng song song:**
- Do \( AE \perp AB \) và \( AF \perp AC \), ta có:
\[
\angle EAD = \angle FAD = 90^\circ
\]
- Điều này cho thấy \( AE \) và \( AF \) là các đường cao của các tam giác \( ADE \) và \( ADF \).

6. **Chứng minh \( EF \parallel BC \):**
- Xét các tam giác \( ADE \) và \( ADF \):
\[
\angle ADE = \angle ADF = 90^\circ
\]
- Do đó, các tam giác \( ADE \) và \( ADF \) đồng dạng với nhau theo góc góc (AA).

7. **Kết luận:**
- Từ các bước trên, ta có thể suy ra rằng \( EF \parallel BC \).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \( EF \parallel BC \).