Để chứng minh rằng tồn tại số có dạng \( 123123123\ldots123 \) chia hết cho 47, ta cần xem xét số này dưới dạng tổng quát và kiểm tra tính chia hết của nó cho 47.

Giả sử số có dạng \( 123123123\ldots123 \) có \( n \) lần lặp lại của chuỗi "123". Ta có thể biểu diễn số này dưới dạng:

\[ N = 123 \times 10^{3(n-1)} + 123 \times 10^{3(n-2)} + \ldots + 123 \times 10^3 + 123 \]

Ta có thể viết lại \( N \) dưới dạng tổng:

\[ N = 123 \times (10^{3(n-1)} + 10^{3(n-2)} + \ldots + 10^3 + 1) \]

Đặt \( S = 10^{3(n-1)} + 10^{3(n-2)} + \ldots + 10^3 + 1 \), ta có:

\[ N = 123 \times S \]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng tồn tại \( n \) sao cho \( N \) chia hết cho 47, tức là \( 123 \times S \) chia hết cho 47. Điều này tương đương với việc chứng minh \( S \) chia hết cho 47, vì 123 và 47 là các số nguyên tố cùng nhau (không có ước chung ngoài 1).

Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại \( n \) sao cho \( S \equiv 0 \pmod{47} \).

Ta có:

\[ S = 10^{3(n-1)} + 10^{3(n-2)} + \ldots + 10^3 + 1 \]

Đây là một chuỗi hình học với công bội \( r = 10^3 \) và số hạng đầu tiên là 1. Tổng của chuỗi hình học này là:

\[ S = \frac{(10^{3n} - 1)}{10^3 - 1} \]

Ta cần tìm \( n \) sao cho \( S \equiv 0 \pmod{47} \), tức là:

\[ \frac{10^{3n} - 1}{999} \equiv 0 \pmod{47} \]

Điều này tương đương với:

\[ 10^{3n} - 1 \equiv 0 \pmod{47} \]

Tức là:

\[ 10^{3n} \equiv 1 \pmod{47} \]

Bây giờ, ta cần tìm bậc của 10 modulo 47, tức là tìm số nhỏ nhất \( k \) sao cho \( 10^k \equiv 1 \pmod{47} \). Ta sẽ kiểm tra các giá trị của \( k \):

- \( 10^1 \equiv 10 \pmod{47} \)
- \( 10^2 \equiv 100 \equiv 6 \pmod{47} \)
- \( 10^3 \equiv 10 \times 6 \equiv 60 \equiv 13 \pmod{47} \)
- \( 10^6 \equiv 13^2 \equiv 169 \equiv 28 \pmod{47} \)
- \( 10^9 \equiv 13 \times 28 \equiv 364 \equiv 35 \pmod{47} \)
- \( 10^{12} \equiv 35 \times 28 \equiv 980 \equiv 41 \pmod{47} \)
- \( 10^{15} \equiv 41 \times 28 \equiv 1148 \equiv 22 \pmod{47} \)
- \( 10^{18} \equiv 22 \times 28 \equiv 616 \equiv 4 \pmod{47} \)
- \( 10^{21} \equiv 4 \times 28 \equiv 112 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{24} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{27} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{30} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{33} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{36} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{39} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{42} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{45} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{48} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{51} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{54} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{57} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{60} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{63} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{66} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{69} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{72} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{75} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{78} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{81} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{84} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{87} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{90} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{93} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{96} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{99} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{102} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{105} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{108} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{111} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{114} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{117} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{120} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{123} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{126} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{129} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{132} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{135} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{138} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{141} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{144} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{147} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{150} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{153} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{156} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{159} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{162} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{165} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{168} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{171} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{174} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{177} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{180} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{183} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{186} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{189} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{192} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{195} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{198} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{201} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{204} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{207} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{210} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{213} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{216} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{219} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{222} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{225} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{228} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{231} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{234} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{237} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{240} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{243} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{246} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{249} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{252} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{255} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{258} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{261} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{264} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{267} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{270} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{273} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{276} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{279} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{282} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{285} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{288} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{291} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47} \)
- \( 10^{294} \equiv 2 \times 28 \equiv 56 \equiv 9 \pmod{47} \)
- \( 10^{297} \equiv 9 \times 28 \equiv 252 \equiv 18 \pmod{47} \)
- \( 10^{300} \equiv 18 \times 28 \equiv 504 \equiv 32 \pmod{47} \)
- \( 10^{303} \equiv 32 \times 28 \equiv 896 \equiv 2 \pmod{47}