Để chứng minh rằng mỗi đường thẳng (d) và (d') luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của \( m \), ta cần tìm điểm chung của hai đường thẳng này mà không phụ thuộc vào \( m \).

### Bài 11:
Cho hai đường thẳng:
\[ (d): y = (m-2)x + 2 \]
\[ (d'): (2-m)x + y = m \]

#### a) Chứng minh rằng mỗi đường thẳng (d) và (d') luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của \( m \):

Ta tìm giao điểm của hai đường thẳng này bằng cách giải hệ phương trình:
\[ y = (m-2)x + 2 \]
\[ (2-m)x + y = m \]

Thay \( y \) từ phương trình (d) vào phương trình (d'):
\[ (2-m)x + (m-2)x + 2 = m \]
\[ (2-m + m-2)x + 2 = m \]
\[ 0x + 2 = m \]
\[ 2 = m \]

Vậy, \( m = 2 \) là điều kiện để hai đường thẳng giao nhau. Tuy nhiên, ta cần kiểm tra xem điểm giao này có cố định không.

Thay \( m = 2 \) vào phương trình (d):
\[ y = (2-2)x + 2 \]
\[ y = 2 \]

Thay \( m = 2 \) vào phương trình (d'):
\[ (2-2)x + y = 2 \]
\[ y = 2 \]

Vậy, điểm giao của hai đường thẳng là \( (x, y) \) với \( y = 2 \). Để tìm \( x \), ta thay \( y = 2 \) vào phương trình (d):
\[ 2 = (m-2)x + 2 \]
\[ 0 = (m-2)x \]

Điều này đúng với mọi giá trị của \( m \). Do đó, điểm cố định mà cả hai đường thẳng luôn đi qua là \( (0, 2) \).

### Bài 12:
Cho đường thẳng:
\[ (d): y = mx - 3 \]

#### a) Chứng minh rằng: Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định khi \( m \) thay đổi:

Ta cần tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua khi \( m \) thay đổi.

Xét phương trình đường thẳng (d):
\[ y = mx - 3 \]

Khi \( x = 0 \):
\[ y = -3 \]

Vậy, điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua là \( (0, -3) \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng mỗi đường thẳng (d) và (d') luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của \( m \) trong cả hai bài toán.