Bài 9. Cho ba đường thẳng: \(d_1: y = (m-1)x + (m^2 - 5)\); \(d_2: y = x + 1\); \(d_3: y = -x + 3\).

a) Tìm điểm cố định mà \(d_1\) luôn đi qua.

Để tìm điểm cố định mà \(d_1\) luôn đi qua, ta cần tìm điểm mà tọa độ của nó không phụ thuộc vào giá trị của \(m\). Giả sử điểm cố định đó có tọa độ \((x_0, y_0)\).

Thay \((x_0, y_0)\) vào phương trình của \(d_1\):
\[ y_0 = (m-1)x_0 + (m^2 - 5) \]

Để \((x_0, y_0)\) là điểm cố định, phương trình trên phải đúng với mọi giá trị của \(m\). Ta phân tích phương trình này theo \(m\):

\[ y_0 = mx_0 - x_0 + m^2 - 5 \]

Để phương trình này đúng với mọi \(m\), hệ số của \(m\) và \(m^2\) phải bằng 0:

1. Hệ số của \(m\):
\[ x_0 = 0 \]

2. Hệ số của \(m^2\):
\[ 1 = 0 \] (điều này không thể xảy ra)

Do đó, không có điểm cố định mà \(d_1\) luôn đi qua.

b) Chứng minh nếu \(d_1\) song song \(d_2\) thì \(d_1\) vuông góc \(d_3\).

Để \(d_1\) song song với \(d_2\), hệ số góc của \(d_1\) phải bằng hệ số góc của \(d_2\). Hệ số góc của \(d_2\) là 1, do đó:

\[ m - 1 = 1 \]
\[ m = 2 \]

Khi \(m = 2\), phương trình của \(d_1\) trở thành:
\[ d_1: y = x + (2^2 - 5) = x - 1 \]

Để \(d_1\) vuông góc với \(d_3\), tích hệ số góc của \(d_1\) và \(d_3\) phải bằng -1. Hệ số góc của \(d_3\) là -1, do đó:

\[ 1 \cdot (-1) = -1 \]

Điều này đúng, do đó nếu \(d_1\) song song với \(d_2\) thì \(d_1\) vuông góc với \(d_3\).

c) Xác định giá trị của \(m\) để ba đường thẳng \(d_1\), \(d_2\), \(d_3\) đồng quy.

Để ba đường thẳng đồng quy, chúng phải cắt nhau tại một điểm chung. Ta tìm giao điểm của \(d_2\) và \(d_3\):

\[ x + 1 = -x + 3 \]
\[ 2x = 2 \]
\[ x = 1 \]

Thay \(x = 1\) vào phương trình của \(d_2\) hoặc \(d_3\):

\[ y = 1 + 1 = 2 \]

Vậy giao điểm của \(d_2\) và \(d_3\) là \((1, 2)\). Để \(d_1\) đi qua điểm này, thay \((1, 2)\) vào phương trình của \(d_1\):

\[ 2 = (m-1) \cdot 1 + (m^2 - 5) \]
\[ 2 = m - 1 + m^2 - 5 \]
\[ m^2 + m - 6 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:

\[ m^2 + m - 6 = 0 \]
\[ (m + 3)(m - 2) = 0 \]
\[ m = -3 \text{ hoặc } m = 2 \]

Vậy giá trị của \(m\) để ba đường thẳng \(d_1\), \(d_2\), \(d_3\) đồng quy là \(m = -3\) hoặc \(m = 2\).