Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài toán trong đề bài:

### Bài 1

#### 1) Rút gọn biểu thức:
\[ A = \frac{\sqrt{5} + 3}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}} \]

Để rút gọn biểu thức này, ta cần thực hiện các bước sau:

- Tìm mẫu số chung của hai phân số.
- Rút gọn các biểu thức trong tử và mẫu.

#### 2) Cho \( A = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} \)

a) Điều kiện xác định và rút gọn biểu thức \( A \):

- Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \).

- Rút gọn biểu thức \( A \):

\[ A = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} \]

b) Đặt \( B = A + x - 1 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( B \):

- Sau khi rút gọn \( A \), ta cộng thêm \( x - 1 \) và tìm giá trị nhỏ nhất của \( B \).

### Bài 2

#### 1) Giải phương trình:
\[ \sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = \frac{x + 3}{2} \]

Đặt \( t = \sqrt{x - 1} \), ta có phương trình:

\[ \sqrt{t^2 + 2t} + \sqrt{t^2 - 2t} = \frac{t^2 + 1 + 3}{2} \]

Giải phương trình này để tìm \( t \), sau đó suy ra \( x \).

#### 2) Giải phương trình:
\[ \sqrt{2x^2 + 5x + 12} + \sqrt{2x^2 + 3x + 2} = x + 5 \]

Đặt \( y = \sqrt{2x^2 + 5x + 12} \) và \( z = \sqrt{2x^2 + 3x + 2} \), ta có hệ phương trình:

\[ y + z = x + 5 \]
\[ y^2 = 2x^2 + 5x + 12 \]
\[ z^2 = 2x^2 + 3x + 2 \]

Giải hệ phương trình này để tìm \( x \).

### Bài 3

#### 1) Chứng minh rằng với \( k \) là số nguyên thì \( 2016k + 3 \) không phải là số nguyên tố.

- Phân tích \( 2016k + 3 \) thành các thừa số nguyên tố và chứng minh rằng nó không thể là số nguyên tố.

#### 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
\[ x^2 - 25 = y(y + 6) \]

- Biến đổi phương trình thành dạng:

\[ x^2 = y^2 + 6y + 25 \]

- Giải phương trình này để tìm các nghiệm nguyên \( (x, y) \).

Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán trong đề bài.