Để tính các đoạn AH, BH, CH theo \(a\) và \(\beta\), ta sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

1. **Tính AH:**
Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là ABH và AHC. Ta có:
\[
AH = BC \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta
\]
Sử dụng công thức \(\sin 2\beta = 2 \sin \beta \cos \beta\), ta có:
\[
AH = \frac{a \sin 2\beta}{2}
\]

2. **Tính BH:**
Trong tam giác vuông ABH, ta có:
\[
BH = AB \cdot \cos \beta
\]
Ta biết \(AB = a \cdot \sin \beta\), do đó:
\[
BH = a \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta
\]

3. **Tính CH:**
Trong tam giác vuông AHC, ta có:
\[
CH = AC \cdot \sin \beta
\]
Ta biết \(AC = a \cdot \cos \beta\), do đó:
\[
CH = a \cdot \cos \beta \cdot \sin \beta
\]

Tóm lại, các đoạn AH, BH, CH được tính như sau:
\[
AH = \frac{a \sin 2\beta}{2}
\]
\[
BH = a \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta
\]
\[
CH = a \cdot \cos \beta \cdot \sin \beta
\]